UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
Ciências
APROXIMAÇÃO DO NÚMERO DE NEPER
VERSÃO FINAL APÓS A DEFESA
HERMENEGILDO SIMÃO
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Matemática Para Professores
(2
o
ciclo de estudos)
Orientador: Prof. Doutor José Carlos Matos Duque
Co-orientador: Prof. Doutor Rui Manuel Pires Almeida
Covilhã, Maio de 2018
Aproximação do Número de Neper
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Aproximação do Número de Neper
Dedicatória
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, pelo dom da vida e por permitir-me
alcançar esta meta.
Dedico este trabalho aos meus pais, Fernando Capalo in memorian e à minha mãe
Maria Eva Muachambi.
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Aproximação do Número de Neper
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Aproximação do Número de Neper
Agradecimentos
A Deus todo-poderoso que me dá o dom da vida e me capacita para conseguir vencer
os desafios.
Aos meus orientadores, Professor Doutor José Carlos Matos Duque e Professor Dou-
tor Rui Manuel Pires Almeida, pelo apoio disponibilizado, pelas opiniões e críticas,
pela total colaboração no solucionar de dúvidas e pela forma amiga como guiaram
o trabalho.
Ao meu pai Fernando Capalo (que Deus o tenha), que cedo me ensinou a dedicação
aos estudos e consentir sacrifícios para vencer os desafios que a vida nos coloca. À
minha mãe Maria Eva Muachambi, pela educação, pela confiança e apoio incondi-
cional que sempre me proporcionou ao longo desta trajetória.
À minha esposa, Maria Generosa A. Fernando e aos meus filhos, pela paciência nas
minhas ausências e apoio moral que sempre me concederam.
Ao meu amigo e colega, Ngaiele Muecheno Fundão, pelo apoio moral e académico,
pela abnegação e total ajuda prestados, que foram fundamentais para atingir esta
meta. Aos meus irmãos, Sandra, Cecília, Marcos e Delfim, pela força e encoraja-
mento que me têm dado ao longo dos anos.
Ao coletivo dos meus colegas, pelo espírito de equipa, irmandade e solidariedade que
permitiram encarar e resolver as principais dificuldades sempre em coletivo, especi-
almente ao Jacinto Comolehã, João Canansevele e Orlando Cawende, a todos o meu
muito obrigado.
Ao coletivo dos professores do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciên-
cia da UBI, especialmente, os Professores Doutores, Alberto Simões, Henrique Cruz,
Sandra Vaz, Rui Pacheco, Jorge Gama, Hélder Vilarinho, Nuno Correia, César da
Silva, Ilda Rodrigues, Ana Carapito, Rogério Serôdio e Paulo Rebelo, que deram o
seu melhor para a nossa formação académica com toda dedicação e paciência.
Ao Dr. Victor Silva e ao Dr. Abel Jones Pique pela oportunidade que me conce-
deram para frequentar o curso de mestrado, pelo apoio moral e pela confiança que
depositaram em mim. A todos que de forma direta ou indireta contribuíram para o
êxito deste desafio, o meu muito obrigado!
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Aproximação do Número de Neper
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Aproximação do Número de Neper
Resumo
O presente trabalho trata da aproximação do número de Neper. Começa-se por
apresentar uma resenha histórica dos principais factos e protagonistas em torno
deste número. De seguida, apresentam-se alguns métodos que permitem calcular
a sua aproximação, com recurso a sucessões, séries e frações contínuas. Por fim,
deduzem-se modelos matemáticos, envolvendo o número de Neper, que descrevem
determinados fenómenos estudados em diferentes áreas da ciência. Espera-se que
este trabalho proporcione aos alunos e professores informação importante que con-
tribua para o melhoramento do processo de ensino e aprendizagem deste tópico no
ensino secundário.
Palavras-chave
Número de Neper, história, aproximação, aplicações.
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Aproximação do Número de Neper
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Aproximação do Número de Neper
Abstract
The present work deals with the approximation of Neper's number. An in-depth
historical review focusing on the main facts and protagonists about this number is
presented. Subsequently, various methods for calculating its approximation, using
sequences, series and continuous fractions, are studied. Finally, some mathematical
models involving Neper's number, which describe certain phenomena in different
areas of science, are deduced. It is hoped that this work will provide students and
teachers with useful information which will contribute to the improvement of the
teaching and learning process on this topic in secondary school.
Keywords: Neper's number, history, approximation, applications.
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Aproximação do Número de Neper
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Aproximação do Número de Neper
Índice
1 Introdução 1
2 História do número de Neper 5
2.1 Tábua de logaritmos e contribuição de Henry Briggs . . . . . . . . . . 7
2.2 Surgimento do número de Neper a partir de questões financeiras . . . 11
2.3 Contribuição de Euler para o número de Neper . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Um pouco sobre vida e obra de Leonhard Euler . . . . . . . . 15
3 Principais Teoremas e resultados fundamentais 17
3.1 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Teoremas importantes sobre sucessões . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Séries numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Alguns teoremas sobre séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1 Propriedades operatórias do logaritmo . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2 Logaritmo neperiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Métodos de cálculo da aproximação do número de Neper 29
4.1 Aproximação do e pela sucessão un = (1 +
1
n
)n . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 A sucessão un = (1 +
1
n
)n é crescente . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 A sucessão un = (1 +
1
n
)n, é limitada . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3 Propriedade da sucessão un = (1 +
a
vn
)vn . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Aproximação do e pela série
∑+∞
n=0
1
n!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Prova da irracionalidade do e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 ex =
∑∞
n=0
xn
n!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 (ex)′ = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.4 (cex)′ = cex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.5 Erro da aproximação do ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Aproximação do e pelas Frações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Comparação dos métodos de aproximação do número de Neper . . . . 51
5 Aplicação do e na vida prática 55
5.1 Aplicação do e na Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Aplicação do e na desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Aplicação do e na Teoria das Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . 65
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6 Considerações finais 69
Bibliografia 71
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Lista de Figuras
2.1 Jonh Napier (1550 - 1617) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Tabela de logaritmos de John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Henry Briggs (1561 - 1631) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Tabela de logaritmos decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Jost Bürgi (1552 - 1632) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1 Imagens de Euro, moeda do espaço europeu . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Imagens de desintegração radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Imagens de Raio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Fóssil de um animal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Imagem de uma Associação de táxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
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Aproximação do Número de Neper
Lista de Tabelas
2.1 Capitalização de juros compostos a uma taxa anual de 5% . . . . . . 13
2.2 Termos da sucessão un = (1 +
1
n
)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Tabela de aproximação do e pela sucessão un = (1 +
1
n
)n . . . . . . . 30
4.2 Tabela de aproximação do e por série infinita . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Tabela de aproximação do e por frações contínuas do tipo [4.8] . . . . 51
4.4 Tabela de aproximação do e por frações contínuas do tipo [4.9] . . . . 52
4.5 Comparação da aproximação do número de Neper por método . . . . 53
5.1 Tabela de capitalização de juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . 57
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Aproximação do Número de Neper
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Aproximação do Número de Neper
Capítulo 1
Introdução
O presente trabalho vai abordar a aproximação do número de Neper. Este número
também conhecido por euler e representado pelo símbolo e é um número irracional
cujo valor aproximado é 2.7182818284590453353... É denominado número de Ne-
per em homenagem a John Napier, enquanto que a utilização do símbolo e o qual
acredita-se que deriva da palavra exponencial, é atribuída ao matemático Euler. O
número de Neper está presente em vários modelos matemáticos aplicados nas dis-
tintas ciências, nos quais precisa ser aproximado com um número adequado de casas
decimais corretas. Para calcular a sua aproximação são usados diferentes métodos,
parte dos quais serão abordados neste trabalho.
O número de Neper à semelhança do pi é uma das constantes importantes da ma-
temática. Essa constante despertou o interesse de muitos matemáticos ao longo do
tempo, no entanto, foi a partir dos séculos XVI e XVII, com os trabalhos do mate-
mático escocês, John Napier (1550 - 1617) e do suíço Leonhard Euler (1707  1783)
que esse número se tornou mais conhecido.
O e está presente em vários conteúdos de matemática precisamente nas sucessões
e séries, nas funções exponenciais e logarítmicas e no cálculo diferencial e integral.
Dada a transversalidade dos conteúdos matemáticos em que é aplicado, este número
está presente em vários modelos matemáticos sobretudo aqueles que representam
fenómenos com caraterísticas de crescimento ou decrescimento, aplicados em áreas
como a medicina, biologia, economia, química e física moleculares, engenharia, mú-
sica, entre outras.
A abordagem no ensino secundário do número de Neper, apesar da sua importância
na matemática e não só, ainda é tida como superficial. Tal facto foi constatado
na análise feita aos programas e manuais de matemática do ensino secundário em
Portugal e Angola. Os referidos materiais didáticos não mostram uma abordagem
significativa do número de Neper que contenha, por exemplo, uma resenha histórica,
os métodos de calcular a sua aproximação com maior número de casas corretas, a
sua importância na matemática, com realce em modelos matemáticos aplicados nas
diversas ciências para explicar determinados fenómenos da vida prática.
1
Aproximação do Número de Neper
Como consequência disso, os alunos apenas aplicam as fórmulas previamente con-
cebidas e realizam cálculos, utilizam o e que em muitos casos é aproximado apenas
com três casas decimais corretas (e ≈ 2.718) e raras vezes é calculada a sua apro-
ximação, a não ser com o recurso às máquinas calculadoras. Esta situação dificulta
efetivamente a sua aprendizagem, o que leva os alunos a terminem o ensino secun-
dário, com pouca informação relativa ao número de Neper.
Com base nas preocupações apresentadas acima, levanta-se a seguinte questão:
Como melhorar o ensino e aprendizagem do número de Neper no ensino secundário?
Para responder a esta questão, propõem-se fazer uma abordagem profunda sobre
vários aspetos relacionados ao número de Neper, mostrando a sua importância, os
métodos de aproximação e as distintas aplicações nas mais variadas ciências, mais
especificamente:
• Efetuar uma resenha histórica sobre o número de Neper;
• Saber o que o número de Neper representa na matemática;
• Mostrar as diferentes maneiras de calcular a aproximação do número de Neper;
• Apresentar as diferentes aplicações do número de Neper nas variadas ciências.
Espera-se que o presente trabalho apresente os principais factos históricos relaciona-
dos ao número de Neper; as técnicas da aproximação do número de Neper com realce
para a sucessão un = (1 +
1
n
)n, série
∑∞
n=0
1
n!
e as frações contínuas; as provas da
irracionalidade do e, e da igualdade limn→∞(1 + 1n)
n =
∑∞
n=0
1
n!
, bem como, a prova
do facto de a derivada da função f(x) = cex ser igual cex, com c ∈ R. Espera-se
igualmente mostrar as aplicações do número de Neper em modelos matemáticos que
auxiliam a resolução de problemas ligados à economia, química e física molecular e à
teoria das probabilidades. No final espera-se apresentar os principais resultados do
trabalho, bem como apresentar sugestões que visam melhorar o estudo do número
de Neper no ensino secundário.
O trabalho está estruturado em seis capítulos, ao longo dos quais se procurou atingir
os principais objetivos que motivaram a realização do mesmo. O primeiro capítulo
é dedicado aos aspetos introdutórios, no segundo capítulo procurou-se trazer uma
abordagem histórica sobre o número de Neper, o terceiro capítulo incide na breve
revisão dos principais teoremas e resultados fundamentais ligados ao estudo de su-
cessões, séries e logaritmos. O quarto capítulo destina-se ao estudo dos métodos de
aproximação do número de Neper, mais precisamente, aproximação pela sucessão
un = (1 +
1
n
)n, pela série
∑∞
n=0
1
n!
e através das frações contínuas, o qual demonstra
ainda alguns resultados importantes, tais como, a prova da irracionalidade do e. O
2
Aproximação do Número de Neper
quinto capítulo mostra as distintas aplicações do e em modelos matemáticos usados
nas distintas ciências e finalmente, o sexto e último capítulo destina-se as considera-
ções finais do trabalho, nas quais apresenta algumas sugestões que visam melhorar
o ensino deste conteúdo no ensino secundário.
3
Aproximação do Número de Neper
4
Aproximação do Número de Neper
Capítulo 2
História do número de Neper
O número de Neper surgiu talvez com a descoberta dos logaritmos, criados como
instrumentos para tornar os cálculos aritméticos mais simples, tendo-se verificado
posteriormente que os logaritmos tinham mais importância do que se pensava, quer
na matemática, quer noutras ciências, uma vez que, diversos factos matemáticos
e vários fenómenos da natureza e até mesmo sociais, podem ser explicados com o
recurso aos logaritmos.
O período compreendido entre o final do século XVI, e o início do século XVII,
testemunhou uma enorme expansão do conhecimento científico nos mais variados
domínios da vida. Foi nesta altura em que se deu o desenvolvimento da geografia,
física e astronomia, o que permitiu mudar rapidamente a perceção que o homem ti-
nha do universo. O sistema heliocêntrico de Copêrnico, finalmente tinha sido aceite.
Em 1519 Fernão de Magalhães (1480 - 1521) começava a circunavegação do globo que
permitiu descobrir várias regiões do mundo. Em 1569, Gerhard Mercantor publicou
o novo mapa do mundo, tendo criadas as condições que melhoraram o processo de
navegação. Galileu Galilei, estabelecia na Itália, os alicerces da ciência da mecânica,
já na Alemanha, Johannes Kepler, publicava as suas famosas três leis do movimento
planetário, uma grande contribuição para a astronomia [Lim85].
Esses desenvolvimentos envolviam quantidades enormes de dados numéricos, o que
obrigava os sábios da época a realizarem cálculos bastante trabalhosos. Embora
nesta altura já estivessem descobertas as frações decimais, ainda assim, era de vital
importância desenvolver um método que permitisse efetuar com eficiência e eficácia
as multiplicações, divisões, potenciações e extrações de raízes. As operações aritmé-
ticas podem ser classificadas em três grupos, de acordo com o grau de dificuldade:
adição e subtração formam as operações de primeira espécie, multiplicação e divisão,
da segunda espécie e a potenciação e radiciação constituem as operações da terceira
espécie. Na altura, procurava-se um processo que permitisse reduzir cada operação
da segunda e terceira espécies numa operação da primeira espécie.
John Napier (1550-1617), escocês, também conhecido por Neper, nascido em Edim-
burgo, formado em teologia, proprietário de terras, lançou-se a esse desafio que lhe
durou vinte anos. Precisamente em 1614, conseguiu corresponder, dando resposta a
essa necessidade, com a descoberta dos logaritmos, tendo para o efeito publicado em
5
Aproximação do Número de Neper
Edimburgo a sua mais célebre obra,Merifici logarithmorum canois description
(uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos).
Figura 2.1: Jonh Napier (1550 - 1617)
Fonte: www.colegioweb.com.br, biografia-letra
John Napier viveu a maior parte de sua vida na majestosa propriedade de sua fa-
mília, o castelo de Merchiston, em Edimburgo, Escócia, e vários anos de sua vida
metido em problemas políticos e religiosos de seu tempo. Era grande opositor da
igreja católica e defensor das ideias de John Knox e Jaime I. Em 1593 publicou uma
obra que muitos consideravam como o livro das revelações, amplamente lido contra
a Igreja de Roma intitulada A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint
John, na qual se propunha provar que o papa era o Anticristo e que o criador ten-
cionava pôr fim ao mundo nos anos entre 1688 e 1700. O livro teve 21 edições, dez
das quais publicadas ainda em vida do autor, o que fazia a Napier acreditar que se-
guramente a sua reputação, ou seja, que o seu nome estava garantido na história em
virtude do seu livro [Eve08]. As revelações de Napier eram tidas para muitos como
profecias, ele chegou a escrever também sobre várias máquinas de guerra infernais.
Previu inclusive que no futuro desenvolver-se-ia uma peça de artilharia que poderia
eliminar de um campo de quatro milhas de circunferência todas as criaturas vivas
que excedessem um pé de altura, que se produziriam dispositivos para navegar
debaixo d'água e que se criaria um carro de guerra com uma boca que se acenderia
para espalhar a destruição por todas as partes. A metralhadora, o submarino e o
tanque de guerra, respectivamente, vieram concretizar esses vaticínios na Primeira
Guerra Mundial [Eve08].
De acordo com Maor, [Mao08], foi a partir do conhecimento de geometria que Napier
6
Aproximação do Número de Neper
chegou acidentalmente aos logaritmos; mais precisamente observando a fórmula
sin(A)× sin(B) = cos(A−B)− cos(A+B)
2
.
Esta fórmula e outras semelhantes para cos(A) × cos(B) e sin(A) × cos(B), então
conhecidas como regras de adição e subtração, a sua importância consiste no facto
do produto de duas expressões trigonométricas sin(A)× cos(B) poder ser calculado
através da soma e diferença de outras expressões trigonométricas como cos(A−B) e
cos(A+B). E como é mais fácil somar e subtrair do que multiplicar e dividir, essas
fórmulas fornecem um sistema primitivo de redução de uma operação aritmética
para outra mais simples. Terá sido essa ideia que levou o Napier à descoberta dos
logaritmos.
Admite-se ainda [Mao08] uma outra possibilidade, se calhar a mais direta que en-
volveria os termos de uma progressão geométrica, uma sequência de números com
proporção fixa entre os termos sucessivos, como por exemplo, 1, 2, 4, 8, 16,..., é uma
progressão geométrica de razão 2.
Se tomarmos por q a razão, então, começando com o 1, os termos da progressão são
1, q, q2, q3, q4,... assim por diante, pode-se notar que o termo n é qn−1. Antes mesmo
de Napier, já se conhecia a relação simples entre os termos de uma progressão geo-
métrica e os expoentes ou índices da razão comum. O Matemático alemão Michael
Stifel (1487-1567), Arithmética Integra (1544), formulou esta relação da seguinte
maneira: Se multiplicarmos quaisquer dois termos da progressão 1, q, q2,... o resul-
tado será o mesmo que se somarmos os expoentes correspondentes. Por exemplo,
q2 × q3= (q.q).(q.q.q) = q.q.q.q.q = q5, um resultado que poderíamos ter obtido so-
mando os expoentes 2 e 3. De modo semelhante dividir um termo de uma expressão
por outro equivale a subtrair os seus expoentes
q5
q3
=
q.q.q.q.q
q.q.q
= q2 = q5−3. E assim,
temos a regra simples qm. qn = qm+n e q
m
qn
= qm−n.
2.1 Tábua de logaritmos e contribuição de Henry Briggs
Uma tabua de logaritmos é constituída essencialmente de duas colunas de números.
A cada número da coluna a esquerda corresponde a um número à sua direita, cha-
mado seu logaritmo. Para multiplicar dois números basta somar seus logaritmos; o
7
Aproximação do Número de Neper
resultado é o logaritmo do produto. Para achar o produto, basta ler a tábua, da
direita para esquerda, qual o número que tem aquele logaritmo. Semelhantemente,
para dividir dois números basta subtrair os logaritmos. Para elevar um número a
uma potência basta multiplicar o logaritmo do número pelo expoente. Finalmente,
para extrair a raiz n-ésima de um número, basta dividir o logaritmo do número pelo
índice da raiz.
Para tal, usava-se uma tabela de duas colunas (ou duas linhas), que colocava em
correspondência os termos de uma progressão geométrica (na verdade potências de
um certo número) com os de uma progressão aritmética. Abaixo temos um exemplo
simples de uma tábua de logaritmos:
2n 1
8
1
4
1
2
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observe que esta tábua de logaritmos tem a seguinte estrutura
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Por exemplo, se pretendesse multiplicar, 32 por 128, buscava-se na tabela os núme-
ros correspondentes na segunda linha, que no caso são 5 e 7. A soma de 5 e 7 resulta
12, localizado na segunda linha, o qual tem como correspondente 4096 na primeira
linha. Portanto, concluía-se que 32× 128 = 4096.
Procedimento semelhante ocorria na divisão. Supomos a divisão de 1024 por 256,
os números correspondentes, são 10 e 8, subtraindo 10-8=2. O número da primeira
linha correspondente a 2 é 4. Logo, 1024÷ 256 = 4. A validade do método decorre
das conhecidas leis:
am × an = am+n e am ÷ an = am−n
Assim,
32× 128 = 25 × 27 = 25+7 = 212 = 4096
e
1024÷ 256 = 210 ÷ 28 = 210−8 = 22 = 4
A inconveniência dessa tábua reside no facto de restringir o número de multiplica-
8
Aproximação do Número de Neper
ções e divisões, uma vez que as potências de 2 crescem muito rapidamente, o que
fez Napier recorrer a um número mais próximo de 1, cujas potências crescessem
lentamente, proporcionando um grande número de produtos e quocientes imediatos.
Outra solução seria o recurso a expoentes fracionários, mas como esses, não eram
inteiramente conhecidos na época de Napier, então ele decidiu definitivamente optar
por um número mais próximo de 1, no caso 0,9999999, ou 1− 10−7
Na notação moderna isto significa dizer que se na primeira tabela N = 107(1 −
10−7)L, então o expoente L é o logaritmo (neperiano) de N [Mao08].
Figura 2.2: Tabela de logaritmos de John Napier
Fonte: https://tecnoaprendizagem.wordpress.com
Depois do surgimento da primeira tábua de logaritmos de Napier, o matemático
inglês Henry Briggs (1561-1631), professor da universidade de Londres e de Oxford,
após uma concertação com Napier, elaboraram uma nova tábua de mais fácil uti-
lização, contendo os chamados logaritmos decimais, ou logaritmos ordinários, que
tiram proveito do facto de usarmos um sistema de numeração decimal [Lim85].
9
Aproximação do Número de Neper
Figura 2.3: Henry Briggs (1561 - 1631)
Fonte: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/logaritmos,Historia.html
Durante mais de trezentos e cinquenta anos depois da descoberta dos logaritmos, a
sua utilidade revelou-se decisiva na ciência e na tecnologia.
A grande invenção de Napier foi inequivocamente adotada por toda comunidade ci-
entífica da época. Na astronomia, há muito se aguardava por uma descoberta assim,
que permitisse reduzir significativamente o trabalho e melhorasse o seu desempenho.
O astrónomo e matemático francês Simon Laplace (1749 - 1827), considerou a nova
descoberta como fundamental para a melhoria da qualidade de vida dos astrónomos
a invenção dos logaritmos ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astrónomos.
Convencidos com o contributo que a nova descoberta trouxera para ciência, Bona-
ventura Cavalieri, empenhou-se em divulgar os logaritmos na Itália, Johann Kepler
fê-lo na Alemanha e Edmund Wingate na França. Wingate, aproveitou os anos que
passou na França, para se tornar escritor de textos de aritmética elementar mais
destacado da língua inglesa no século XVII.
Outro inventor dos logaritmos a par de Napier, foi o suíço Jobst Bürgi (1552-1632),
um construtor de instrumentos. Bürgi concebeu e construiu uma tábua de logaritmos
independentemente de Napier e publicou os seus resultados em 1620, seis anos depois
de Napier o ter feito. Porém, acredita-se que Napier foi primeiro mentor da ideia, ou
seja, o primeiro inventor dos logaritmos. A diferença entre os dois inventores residia
no facto de que a abordagem de Napier era geométrica, a de Bürgi era algébrica.
Atualmente, um logaritmo é universalmente considerado como um expoente; assim,
se n = bx, dizemos que x é o logaritmo de n na base b. Dessa definição, as leis dos
logaritmos decorrem imediatamente das leis dos expoentes [Boy96].
10
Aproximação do Número de Neper
Figura 2.4: Tabela de logaritmos decimais
Fonte: slideplayer.com.br
Atualmente, com a utilização dos computadores, as tábuas de logaritmos perderam
algo do seu poder como instrumento de cálculo, à semelhança do que acontece com
outras tabelas matemáticas. Contudo, o estudo dos logaritmos ainda é, e certamente
continuará a ser, importante na matemática e noutras ciências. Pois, embora te-
nham sido inventados como ferramenta para facilitação de operações aritméticas, o
desenvolvimento da matemática e de outras ciências mostra hoje que diversos fenó-
menos naturais e mesmo sociais estão estreitamente relacionados com os logaritmos.
Assim sendo, os logaritmos, que no princípio eram importantes apenas por causa
das tábuas, mostraram ter apreciável valor intrínseco.
2.2 Surgimento do número de Neper a partir de questões
financeiras
Acredita-se também que o número de Neper possa ter origem nas questões financei-
ras, sobretudo no conceito de juros compostos, ou valor pago sobre um empréstimo,
o que remonta desde a época da história escrita.
Importa recordar qual é o comportamento dos juros compostos. Imaginemos que
investimos 100 unidades monetárias (u.m.) de capital inicial numa conta que paga
11
Aproximação do Número de Neper
Figura 2.5: Jost Bürgi (1552 - 1632)
Fonte: www.colegioweb.com.br, biografia-letra
5% de juros compostos anualmente. No final de um ano, o nosso saldo será de
100× 1.05 = 105. Esta soma será, para o banco, o novo capital que será reinvestido
à mesma taxa. No final do segundo ano, o saldo deverá ser de 105× 1.05 = 110.25,
no final do terceiro ano 110.25× 1.05 = 115.76, e assim sucessivamente. Ora, desse
modo, teremos juros anuais sobre o valor original e juros anuais sobre o capital acu-
mulado  daí o termo juros compostos [PP13]. Portanto, o nosso saldo cresce numa
progressão geométrica, com a taxa comum de 1.05. No entanto, numa conta que
pague juros simples, a taxa anual é aplicada sobre o valor original, que é o mesmo
a cada ano. Se tivéssemos investido 100 u. m. a juros simples, de cinco por cento,
o saldo aumentaria a cada ano de 5 dando-nos uma progressão aritmética 100, 105,
110, 115 e assim por diante. Portanto, o dinheiro investido a juros compostos  não
obstante qual seja a taxa  vai, após certo tempo, crescer mais rápido se comparado
ao investido a juros simples.
O exemplo acima, dá-nos uma ideia do que acontece no caso geral. Vamos supor
que investimos um capital inicial de P u.m. numa conta que paga r% da taxa de
juros compostos anualmente. (Nos cálculos vamos exprimir r como uma dízima, por
exemplo 0.05 em vez de 5%). Isto significa que, no final do primeiro ano, o saldo será
P × (1 + r), e no final do segundo ano, P × (1 + r)2, e assim por diante até que de-
pois de t anos o saldo será P×(1+r)t. Denotada esta soma por S chegamos à fórmula
S = P × (1 + r)t. (2.1)
Determinados bancos fazem o cálculo de juro acumulado várias vezes por ano. Por
12
Aproximação do Número de Neper
Período de conversão n
r
n
S
Anual 1 0,05 105,00
Semestral 2 0,025 105,06
Trimestral 4 0,0125 105,09
Mensal 12 0,004166 105,12
Semanal 52 0,0009615 105,12
Diário 365 0,0001370 105,13
Tabela 2.1: Capitalização de juros compostos a uma taxa anual de 5%
exemplo, uma taxa de juros anual de 5% é composta semestralmente, o banco usará
metade da taxa de 2.5%. Assim teremos 100 × 1.0252 ou 105.0625, cerca de seis
centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a
5%.
Na comunidade bancária podemos encontrar todos os tipos de composição de juros
 anual, semestral, trimestral, semanal e mesmo ao dia. Para cada Período de con-
versão o banco usa taxa de juros anual dividida por n, que é
r
n
. Como em t anos
existem (nt) períodos de conversão, um capital inicial P , após t anos renderá
S = P × (1 + r
n
)nt (2.2)
É claro que a equação (2.1) é apenas um caso especial da equação (2.2) o caso onde
n = 1.
Interessa fazer comparação da quantidade de dinheiro que um determinado capi-
tal irá render depois de um ano para diferentes períodos de conversão, usando-se a
mesma taxa de juros anual. Vamos tomar como exemplo P = 100 e r = 5% = 0.05.
Com uma calculadora científica através da tecla exponencial (geralmente denotada
por yx), poderemos usar multiplicações repetidas por um fator de (1 +
0.05
n
). Os
resultados, mostrados na tabela 2.1, são bem surpreendentes. Como vemos uma
quantia de 100 composta diariamente rende exatamente treze centavos a mais do
que quando composta anualmente e cerca de um centavo a mais do que quando
composta mensalmente ou semanalmente! Será que esta tendência se mantêm?
Para explorarmos esta questão, supomos um caso especial da equação (2.2), quando
r = 1. Isto significa uma taxa anual de juros de 100%, embora na prática não
existam bancos que alcancem tanta oferta. Contudo, trata-se de uma suposição,
ou seja, não é uma situação real, mas tem profundas consequências matemáticas.
Vamos assumir que, P = 1 e t = 1 ano. A equação (2.2) fica S = (1 +
1
n
)n. A
13
Aproximação do Número de Neper
seguir vamos procurar saber qual será o comportamento desta fórmula para valores
crescentes de n. Os resultados são dados na tabela 2.2.
n (1 + 1
n
)n
1 2
2 2.25
3 2.37037
4 2.44141
5 2.48832
10 2.25937
50 2.69159
100 2.70481
1000 2.71692
10000 2.71815
100000 2.71827
1000000 2.71828
Tabela 2.2: Termos da sucessão un = (1 +
1
n
)n
Observa-se que, a partir de certo valor, o aumento que n toma praticamente não
afeta o resultado  as mudanças dão-se em dígitos cada vez menos significativos.
Porém, coloca-se a questão de que se esse padrão continua. O que ocorre é que, não
importa o quão elevado seja n, os valores de (1 +
1
n
)n estacionam nalgum ponto em
torno de 2.71828 . . . Não sabemos quem primeiro notou o comportamento peculiar
da expressão (1 +
1
n
)n à medida que n tende ao infinito, por isso, não se sabe ao
certo a data da descoberta do número que mais tarde seria denotado por e. Parece
provável, no entanto, que as origens do e recuem até ao início do século XVII, por
volta da época em que Napier inventou os logaritmos. Em consequência, um bocado
de atenção foi dada à lei dos juros compostos, e é possível que o número e tenha
sido reconhecido pela primeira vez neste contexto. Mas antes de nos voltarmos para
essas questões seria bom dar uma atenção mais detalhada ao processo matemático
que se encontra na base e: o processo do limite.
2.3 Contribuição de Euler para o número de Neper
O número de Neper, ou simplesmente, constante de Euler e, como é universalmente
conhecida, foi usada pela primeira vez como base do sistema de logaritmos naturais,
pelo Matemático suíço, Leonhard Euler, em 1736. O conceito por detrás desse nú-
mero era bem conhecido desde a invenção dos logaritmos, cerca de um século antes
por Napier. Porém, a padronização que tornou o seu uso universal coube ao Euler,
o também responsável pelas distintas notações que hoje são usadas em vários ramos
14
Aproximação do Número de Neper
da Matemática, como são os casos do pi, f(x) para funções; a, b, c para os lados de
um triângulo ABC, s para o semiperímetro do triângulo ABC, r para o inraio do
triângulo ABC, R para o circunraio do triângulo ABC, Σ para somatório e i para
a unidade imaginária,
√−1.
Também deve-se a Euler, a notável fórmula eix = cosx + i sinx que para x = pi, a
transforma em eipi + 1 = 0, uma igualdade que relaciona cinco dos mais importantes
números da matemática. Por processos puramente formais, Euler chegou a um nú-
mero enorme de relações curiosas, como ii = e
−pi
2
por exemplo. Um facto importante
que conseguiu estabelecer é que todo número real não nulo r tem uma infinidade de
logaritmos (para uma dada base), todos imaginários se r < 0 e todos imaginários,
excepto um, se r > 0. Na geometria plana aparece a reta de Euler.
2.3.1 Um pouco sobre vida e obra de Leonhard Euler
Leonhard Euler, nasceu em 1707 na Basileia, Suíça. No começo, estudou teolo-
gia, uma vez que o seu pai era um ministro religioso, esperava que o filho seguisse
o mesmo caminho. Entretanto, Euler, muito cedo estudou com Jean Bernoulli e
tornou-se amigo dos seus filhos, Daniel e Nicolaus (os irmãos Bernoulli) e através
deles, descobriu a sua verdadeira vocação na Matemática. Em seguida passou a ser
aluno de Jackes Bernoulli.
Em 1727, aos 20 anos de idade, com ajuda dos irmãos Daniel e Nicolaus Bernoulli,
Euler passou a pertencer à Academia de São Petersburgo, na Rússia, instituição que
acabara de ser criada por Pedro, o Grande. Com a saída de Daniel que regressara a
Suíça para ocupar o posto de Professor de Matemática na Universidade de Basileia,
Euler passou a responder pela secção de matemática da Academia.
Euler permaneceu no cargo durante 14 anos, tendo prestigiado sobremaneira a Aca-
demia de São Petersburgo. A seguir mudou-se para a Academia de Berlim, na
Alemanha onde a convite de Frederico, o Grande, desempenhou iguais funções du-
rante os 25 anos seguintes. Fruto do reconhecimento do seu desempenho na Rússia,
a Academia de S. Petersburgo continuou a pagar-lhe pensões durante todo o tempo
que passou em Berlim.
O carinho que os russos mantinham por Euler e o mau relacionamento com os
membros da corte de Berlim, que na altura valorizavam mais os filósofos do que a
geómetras, fizeram-no, em 1766, aceitar um convite de Catarina, a Grande, para
retornar à Academia de São Petersburgo, onde ficaria os 17 anos seguintes de sua
15
Aproximação do Número de Neper
vida. Euler morreu subitamente em 1783 com 76 anos de idade [Boy96].
Euler foi um escritor muito produtivo, tendo superado todos os matemáticos de sua
época e não só, as suas contribuições figuram em todos os ramos da matemática.
Como se não bastasse, a sua produtividade surpreendente não foi absolutamente
prejudicada quando, pouco depois de seu retorno a São Petersburgo, teve a infelici-
dade de ficar completamente cego. Embora já estivesse cego do olho direito desde
1735. A cegueira poderia ser um obstáculo intransponível que poderia pôr fim a
sua produtividade científica, mas, Euler, extraordinariamente, superou essa grande
dificuldade e manteve a atividade produtiva. Ajudado por uma memória fenomenal
e por um poder de concentração incomum e imperturbável, Euler continuou seu
trabalho criativo com a ajuda de um secretário que anotava suas ideias, expressas
verbalmente ou escritas com giz numa lousa grande [Eve08].
Durante a sua vida, Euler publicou 530 trabalhos, entre livros e artigos, ao morrer,
deixou ainda, uma série de manuscritos que enriqueceram as publicações da Aca-
demia de São Petersburgo por mais 47 anos, dos quais puderam ser editados 886
trabalhos sobre a vida e obra de Euler, uma iniciativa levada a cabo pela Sociedade
Suíça de Ciências Naturais, desde 1909.
16
Aproximação do Número de Neper
Capítulo 3
Principais Teoremas e resultados fundamentais
Neste capítulo vamos relembrar algumas definições e teoremas sobre sucessões, sé-
ries e logaritmos com incidência nos resultados essenciais necessários ao estudo. São
omitidas as demonstrações pois podem ser consultadas em muitos livros de análise
real, podemos referir por exemplo [Fer91].
3.1 Sucessões
Esta secção vai abordar algumas noções básicas sobre sucessões, nomeadamente,
definições, teoremas e certos resultados que serão necessários no presente estudo.
Definição 3.1. Uma sucessão numérica ou sucessão de números reais é qualquer
aplicação de N em R. Geralmente uma sucessão representa-se pelo seu termo geral,
ou por recorrência, em que se dão a conhecer alguns dos primeiros termos, sendo o
termo de ordem n definido através dos termos anteriores.
Por exemplo, un = 3 + 4n é uma sucessão definida pelo termo geral, ao passo que,
un =
{
u1 = 7
un+1 = un + 4, n ≥ 1
é a mesma sucessão definida por recorrência.
Uma sucessão diz-se majorada, se o conjunto dos seus termos for majorado, isto
é,[Mir78]:
∃b ∈ R, ∀n ∈ N : un ≤ b.
E minorada, se o conjunto dos seus termos for minorado, ou seja,
∃a ∈ R ∀n ∈ N, : a ≤ un.
Definição 3.2 (sucessão limitada). Uma sucessão simultaneamente majorada e mi-
norada diz-se limitada.
17
Aproximação do Número de Neper
Portanto, se a sucessão (un) for limitada teremos,
∃a, b ∈ R,∀n ∈ N. a ≤ un ≤ b.
Em resumo temos:
Seja (un) uma sucessão de números reais. Se, para todo o n ∈ N, se tem:
un < un+1, a sucessão diz-se estritamente crescente.
un ≤ un+1 a sucessão diz-se crescente.
un > un+1 a sucessão diz-se estritamente decrescente
un ≥ un+1 a sucessão diz-se decrescente.
Normalmente, se (un) é crescente, a sucessão (−un) é decrescente; se (un) é decres-
cente, (−un) é crescente.
Uma sucessão decrescente ou crescente diz-se monótona.
Dada uma sucessão (un), para averiguar se ela é crescente ou decrescente constrói-se
a diferença un − un+1. Se esta diferença é não positiva então un ≤ un+1 e (un) é
crescente; se a diferença é não negativa tem-se un ≥ un+1 e (un) é decrescente. É
evidente que uma sucessão (un) pode não ser crescente nem decrescente. É, por
exemplo, o caso de un − un+1 ser de sinal indeterminado e un−1 − un+1 e un − un+2
serem de sinais contrários. A sucessão diz-se, então, oscilatória  ora crescente, ora
decrescente.
Definição 3.3 (Progressão Aritmética). Uma sucessão (un) é uma progressão arit-
mética se existe um número real r tal que un+1 − un = r,∀n ∈ N.
Ao número r chama-se razão da progressão aritmétrica.
O termo geral de uma progressão aritmética é:
un = u1 + (n− 1).r
A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética é:
Sn =
u1 + un
2
× n, n ∈ N
Definição 3.4 (Progressão Geométrica). Uma sucessão (un) de termos não nulos
é uma progressão geométrica se existe um número r, tal que:
un+1
un
= r,∀n ∈ N
18
Aproximação do Número de Neper
Ao número r chama-se razão da progressão geométrica.
O termo geral de uma progressão geométrica é:
un = u1.r
n−1.
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo u1
e a razão r é:
Sn = u1.
1− rn
1− r
Uma sucessão (un) tem por limite a (e escreve-se un → a ou limun = a) se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : (n > p⇒ |un − a| < ε)
ou seja, un → a se e só se para qualquer ε > 0, existe uma ordem a partir da qual,
todos os termos pertencem ao intervalo ]a − ε, a + ε[. A sucessão que verifica a
propriedade indicada acima, diz-se convergente.
3.1.1 Teoremas importantes sobre sucessões
Teorema 3.5. [teorema da unicidade do limite] Nenhuma sucessão tem dois limites
distintos, ou seja, se a sucessão (un) tem limite este é único.
Para o teorema que se segue notamos que uma sucessão se diz limitada se o conjunto
dos seus termos o for.
Teorema 3.6. Toda a sucessão convergente é limitada.
Teorema 3.7 (Propriedades Algébricas). Sejam c ∈ R e (un) e (vn) sucessões con-
vergentes para os limites u e v, respetivamente .
Então,
(i) un + vn, (cun) e (unvn) convergem para os limites u+ v, cu, uv respectivamente;
(ii) Se un 6= 0,∀n ∈ N e u 6= 0 então ( 1un ) converge para 1u .
Teorema 3.8. Sejam (un) e (vn) duas sucessões convergentes. Se un ≤ vn para
qualquer n ∈ N, então
19
Aproximação do Número de Neper
limun ≤ lim vn
Teorema 3.9 (Teorema das sucessões enquadradas). Sendo un e vn sucessões con-
vergentes com o mesmo limite a, e zn uma sucessão tal que a partir de certa ordem
un ≤ zn ≤ vn, então, lim zn = a.
Vamos apresentar a seguir uma classe importante de sucessões para as quais é fácil
provar a sua convergência.
Teorema 3.10. Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Definição 3.11. (Subsucessão) Sendo u e w duas sucessões, diremos que w é sub-
sucessão de u se e somente se existir uma sucessão estritamente crescente v tal que
w = u ◦ v (o que pressupõe naturalmente vn ∈ N para cada n ∈ N).
Teorema 3.12. Toda a sucessão limitada de números reais possui uma subsucessão
convergente.
Teorema 3.13. A sucessão de números reais (un) diz-se de Cauchy se, dado ε > 0
arbitrário, existe N ∈ N tal que n,m > N , se tem
|un − um| < ε
O teorema que se segue enuncia uma propriedade fundamental das sucessões de
Cauchy. Mas antes precisamos do seguinte resultado auxiliar.
Proposição 3.14. Toda a sucessão de Cauchy é limitada.
Teorema 3.15. Uma sucessão (un) de números reais é convergente se e só se for
de Cauchy.
3.2 Séries
Nesta secção são abordados alguns resultados sobre séries numéricas e séries de fun-
ções, precisamente os que constituem pre-requisitos para a abordagem a posteriori.
20
Aproximação do Número de Neper
3.2.1 Séries numéricas
Definição 3.16 (Séries). Sendo (un) uma sucessão numérica, chama-se série nu-
mérica de termo geral (un) à expressão
u1 + u2 + ...+ un + ...,
que abreviadamente se costuma a escrever∑+∞
n=1 un ou, ainda
∑
un e
∑∞
n=1 un
Associada a uma série, considera-se sempre uma sucessão das suas somas parciais
definidas por
s1 = u1
s2 = u1 + u2
s3 = u1 + u2 + u3
.
.
.
sn = u1 + u2 + u3 + ...+ un
A série
∑∞
n=1 un dir-se-á convergente ou divergente conforme a sucessão das somas
parciais, sn, que lhe está associada for convergente ou divergente.
A s = lim sn, no caso da convergência, chama-se soma da série.
Definição 3.17 (Série absolutamente convergente). Diz-se que a série
∑+∞
n=1 un é
absolutamente convergente se e só se a série dos valores absolutos (módulos) dos
seus termos
∑+∞
n=1 |un| é convergente.
Teorema 3.18. Se a série
∑+∞
n=1 un é absolutamente convergente então é conver-
gente. Além disso
|
+∞∑
n=1
un| ≤
+∞∑
n=1
|un|.
Definição 3.19 (Série Geométrica). Chama-se Série geométrica a
∑∞
n=0 un, quando
(un) é uma progressão geométrica. A Série geométrica representa-se, habitualmente,
por:
∞∑
n=0
arn
21
Aproximação do Número de Neper
A sucessão associada à série é:
s1 = a
s2 = a+ ar
s3 = a+ ar + ar
2
s4 = a+ ar + ar
2 + ar3
.
.
.
sn = a+ ar + ar
2 + ar3 + · · ·+ arn
3.2.2 Alguns teoremas sobre séries
Vejamos, agora, alguns teoremas que nos fazem concluir sobre a convergência ou
divergência de séries:
Teorema 3.20. A série
∑
arn converge se e somente se |r| < 1; na hipótese de
convergência, a soma da série é
a
1−r .
Teorema 3.21. Se uma série
∑
un é convergente, então un → 0.
Teorema 3.22. i) Sendo
∑∞
n=1 un e
∑∞
n=1 vn duas séries convergentes, de somas a
e b, respetivamente, e wn = un + vn, então a série
∑∞
n=1wn é convergente e a sua
soma é c = a+ b
ii) Sendo
∑∞
n=1 un convergente de soma a e c um número real, a série
∑∞
n=1(cun) é
convergente e tem por soma ac [Fer91].
Definição 3.23 (produto de séries numéricas). Geralmente, dadas duas séries
∑∞
n=0 an e
∑∞
n=0 bn
Chama-se série produto à série
∑∞
n=0 cn,
sendo
c0 = a0b0
c1 = a0b1 + a1b0
c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0
c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
.
.
.
cn = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0
.
.
.
Se
∑
an = a e
∑
bn = b forem absolutamente convergente,
∑
cn é convergente e
22
Aproximação do Número de Neper
tem-se
∑
cn = ab
Nota:
∑
an e
∑
bn podem ser convergentes sem que
∑
cn o seja.
Teorema 3.24 (Critério de comparação). Suponhamos que, para qualquer n ∈ N,
se tem 0 ≤ un ≤ vn, então,
a) se
∑
vn é convergente,
∑
un também é convergente.
b) se
∑
un é divergente,
∑
vn também é divergente.
Teorema 3.25 (Critério da razão D'Alembert). Consideremos uma série
∑
un, de
termos positivos. Então se
a) existe um número r < 1 tal que, a partir de certa ordem, se tenha un+1
un
≤ r, a
série
∑
un é convergente;
b) a partir de certa ordem, se tem
un+1
un
≥ 1, a série ∑un é divergente.
3.2.3 Séries de funções
Definição 3.26 (Série de funções). Chama-se série de funções a uma expressão que
se pode escrever na forma
∑∞
n=0 fn(x), com fn(x) funções reais de variável real todas
definidas no mesmo intervalo [a, b].
Diz-se que a série
∑∞
n=0 fn(x) converge em [a, b], para a função s : [a, b]→ R se para
cada x ∈ [a, b],
s(x) =
+∞∑
n=0
fn(x)
o que significa que, para cada x ∈ [a, b]
lim
n→+∞
n∑
k=0
fk(x) = s(x)
A função s(x), dada por
∑+∞
n=0 fn(x), denomina-se soma da série
∑+∞
n=0 fn.
Teorema 3.27 (Critério de Weierstrass). Considerando a série de funções dada por∑+∞
n=0 fn(x) definida no intervalo [a, b]. Se:
i)existem constantes Mn tais que |fn(x)| ≤Mn,
ii) a série numérica
∑+∞
n=0Mn é convergente,
então a série
∑+∞
n=0 fn(x) é absolutamente convergente em [a, b].
23
Aproximação do Número de Neper
Definição 3.28 (Série de potência de (x− a)). Uma série de potência de (x− a) é
uma série da forma [Fer09]:
∞∑
n=0
an(x− a)n = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · ·+ an(x− a)n + · · ·
Definição 3.29 (Série de potência de x). Uma série de potência de x, é uma série
da forma:
∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn + · · ·
(É o caso particular das séries de potências de (x− a) onde se considera a = 0)
Definição 3.30 (Produto de séries de potências). Se tivermos
∑∞
n=0 anx
n
e
∑∞
n=0 bnx
n
a série de produto é dada por
∞∑
n=0
(a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0)xn
Teorema 3.31 (Raio de convergência de série de potências). Seja a série de potên-
cias
∑+∞
n=0 an(x− a)n podem acontecer três situações:
i)
∑+∞
n=0 an(x− a)n converge apenas para x = a
ii)
∑+∞
n=0 an(x−a)n converge absolutamente em ]a−r; a+r[ e diverge em ]−∞; a−r[
e ]a+ r; +∞; [.
iii)
∑+∞
n=0 an(x− a)n converge absolutamente em R.
Ao valor de r chama-se raio de convergência.
Portanto, no caso de existência do limite quando an 6= 0, o raio de convergência da
série de potências
∑+∞
n=0 an(x− a)n pode ser dado por,
lim | an
an+1
| = r (3.1)
Definição 3.32 (Teorema de Taylor). Se uma determinada função f tiver derivada
de ordem n num determinado intervalo fechado com extremos a e x, sendo x > a
ou x < a, existe pelo menos,um ponto c, do interior desse intervalo tal que[Fer09]
24
Aproximação do Número de Neper
f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)
2
2!
f ′′(a) +
(x− a)3
3!
f ′′′(a) + · · ·
· · ·+ (x− a)
n
n!
f (n)(a) +
(x− a)n+1
(n+ 1)!
f (n+1)(c) (3.2)
Para a = 0, a fórmula de Taylor assume a forma
f(x) = f(0) + xf ′(0) +
x2
2!
f ′′(0) + · · ·+ x
n
n!
fn(0) +
xn+1
(n+ 1)!
f (n+1)(c), (c entre x e 0)
A expressão acima é designada por fórmula de Mac-Laurin.
Pode se notar que se substituirmos f(x) (em pontos próximos de a) por
Pn(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)
2
2!
f ′′(a) + · · ·+ (x− a)
n
n!
f (n)(a),
teremos um erro dado pela expressão
Rn(x) =
(x− a)n+1
(n+ 1)!
f (n+1)(c)
denominado resto de Lagrange de ordem n.
Teremos então,
lim
x→a
Rn(x)
(x− a)n = limx→a
(x− a)n+1
(x− a)n(n+ 1)! .f
(n+1)(c) = lim
x→a
x− a
(n+ 1)!
.f (n+1)(c) = 0
3.3 Logaritmos
No capítulo 2 deste trabalho falamos do surgimento do e, e vimos que a sua história
está intimamente ligada à dos logaritmos, aliás, o e constitui a base do logaritmo
natural, também conhecido como logaritmo neperiano. Nesta secção iremos rever a
definição e principais propriedades operatórias, resultados de que precisaremos nas
aplicações do número de Neper na vida prática.
Logaritmo é uma função matemática que sendo a e b números reais positivos e a di-
ferente de 1 (0 < a 6= 1, b > 0), denominamos logaritmo de b na base a, ao expoente
em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b
loga b = x⇔ ax = b [Ste06].
Sendo que:
25
Aproximação do Número de Neper
Figura 3.1: Logaritmo
a - é a base do logaritmo, tem de ser um número real positivo, diferente de 1 (0 < a;
e a 6= 1).
b - é o logaritmando, deve ser um real positivo (b > 0).
x - é logaritmo.
Da definição de logaritmo e tendo sempre em conta as condições de existência, de-
correm as seguintes propriedades:
1. loga a = 1
2. loga 1 = 0
3. loga a
b = b
4. blogb a = a
5. Se loga b = loga c, então b = c.
3.3.1 Propriedades operatórias do logaritmo
Para operarmos com os logaritmos, temos de ter em conta as seguintes condições:
1. Logaritmo do produto: numa mesma base a (0 < a 6= 1), o logaritmo do
produto de dois números reais e positivos é igual à soma entre o logaritmo desses
números. Ou seja, se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, então, loga(b.c) = loga b+ loga c
2. Logaritmo do quociente: numa mesma base a (0 < a 6= 1), o logaritmo do
quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo
desses números. Ou seja, se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, então loga( bc) = loga b− loga c.
3. Logaritmo da potência: numa mesma base a (0 < a 6= 1), o logaritmo da
potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base
26
Aproximação do Número de Neper
positiva. Ou seja, se 0 < a 6= 1, b > 0 e c ∈ R, então loga bc = c. loga b
4. Mudança de base: um logaritmo qualquer numa base a e o logaritmando b ,
fazendo a mudança de base, consiste em transformar esse logaritmo num quociente
de um logaritmo formado por uma base c . A mudança de base resulta no quociente
entre logaritmos em que tanto b quanto a passam a ser o logaritmando formado pela
base c.
Ou seja, se 0 < a 6= 1, b > 0 e c ∈ R (0 < c 6= 1), então loga b = logc blogc a .
3.3.2 Logaritmo neperiano
O logaritmo neperiano, também denominado logaritmo natural de um número
a, com a > 0, é o logaritmo desse número a, na base e. Representamos o logaritmo
natural por ln.
ln a = loge a
Como a função logaritmo possui derivadas até a ordem (n+ 1), num dado intervalo,
I, de R, então pode ser aproximada pelo polinómio de Taylor da forma:
P (x) = f(a) + (x − a)f ′(a) + (x− a)
2
2!
f ′′(a) +
(x− a)3
3!
f ′′′(a) +
(x− a)4
4!
f (4)(a) +
· · ·+ (x− a)
n
n!
f (n)(a) +
(x− a)n+1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ), ξ entre x e a.
Vamos encontrar o polinómio de Taylor de ordem n em torno de a = 1.
Comecemos em primeiro lugar a determinar as derivadas de f(x) = ln x.
f(x) = lnx; f(1) = ln 1 = 0
f ′(x) =
1
x
; f ′(1) = 1.
f ′′(x) =
−1
x2
; f ′′(1) = −1.
f ′′′(x) =
2
x3
; f ′′′(1) = 2.
f (4)(x) =
−6
x4
; f (4)(1) = −6.
.
.
.
27
Aproximação do Número de Neper
f (n)(x) =
(−1)n+1(n− 1)!
xn
; f (n)(1) = (−1)n+1(n− 1)!
Substituindo os termos na fórmula, teremos: Com a = 1
ln(x) = 0 +
1
1!
(x − 1) − 1
2!
(x − 1)2 + 2
3!
(x − 1)3 − 6
4!
(x − 4)4 + · · · + (−1)
n+1
n
(x −
1)n +
(−1)n+1(x− 1)n+1
(n+ 1)
ξn+1, ξ entre x e 1.
ln(x) = (x − 1) − 1
2
(x − 1)2 + 1
3
(x − 1)3 − 1
4
(x − 1)4 + · · · + (−1)
n+1
n
(x − 1)n +
(−1)n+1(x− 1)n+1
(n+ 1)
ξn+1, ξ entre x e 1.
28
Aproximação do Número de Neper
Capítulo 4
Métodos de cálculo da aproximação do número de
Neper
Este capítulo é dedicado ao estudo de três métodos de cálculo da aproximação do
número de Neper, nomeadamente, o método da sucessão un = (1+
1
n
)n, o método da
série
∑∞
n=0
1
n!
e o método de frações contínuas ao longo dos quais são apresentadas as
demonstrações dos principais resultados. No final faz-se a comparação da eficiência
dos mesmos em termos de convergência do número de Neper.
4.1 Aproximação do e pela sucessão un = (1 +
1
n)
n
O número de Neper, começa a ser abordado no ensino secundário a partir do estudo
de sucessões. Neste contexto surgem diversos limites que sugerem uma abordagem
numérica, um desses limites é o da sucessão definida pelo termo geral
un = (1 +
1
n
)n.
Nesta altura, o número de Neper e é apresentado aos alunos como sendo limite desta
sucessão. Todavia, a abordagem que se faz a partir do 11
o
ano, não é aprofundada,
daí que, não se faz estudo da sua convergência, pese embora, alguns manuais referi-
rem que esta sucessão é monótona crescente e limitada, cujos termos estão contidos
no intervalo de [2, 3[ e consequentemente, a sucessão un = (1 +
1
n
)n é convergente e
o seu limite é um número maior do que dois e não superior a três, [Fer09]. Assim
sendo, o aluno pode através da calculadora científica estimar o valor do e com de-
terminado número de casas decimais corretas.
Os manuais de matemática do 11
o
ano sugerem atividades que visam calcular vários
termos da sucessão un = (1 +
1
n
)n de modo a confirmar que é crescente e estimar o
valor do e. São sugeridas igualmente atividades relacionadas com a comparação dos
valores do e que se obtém através da calculadora e usando a função ex.
As atividades referidas no parágrafo anterior visam obter uma aproximação para o
limite de un = (1 +
1
n
)n, partindo do pressuposto de que uma sucessão toma valores
tão próximos do seu limite quanto se queira, desde que se tome um termo de uma
ordem suficientemente elevada. Entretanto, como a calculadora tem uma precisão
29
Aproximação do Número de Neper
n un = (1 +
1
n
)n
10 2.593742460
102 2.704813829
103 2.716923932
104 2.718145927
105 2.718268237
106 2.718280469
107 2.718281693
108 2.718281815
109 2.718281827
1010 2.718281828
1011 2.718281828
1012 2.718281828
1013 2.760577856
1014 1
1015 1
1016 1
Tabela 4.1: Tabela de aproximação do e pela sucessão un = (1 +
1
n
)n
finita, aquele facto não corresponde à verdade. Para determinadas ordens, os valo-
res apresentados na calculadora afastam-se muito do número e. Esta situação pode
induzir o aluno em erro, uma vez que ele não está familiarizado com este tipo de
problemas e desconhece o valor exato do número e.
Interessa que o professor informe ao aluno de que, a calculadora permite-nos ter uma
ideia do limite de uma sucessão, porém, em muitos casos falha devido aos erros de
arredondamento, o que faz com que apresente determinados valores que não tenham
a ver com a realidade.
A tabela 4.1 mostra aproximações dos termos da sucessão que se obtém da calcula-
dora TI - 83 plus.
A tabela 4.1 mostra aproximações que vão melhorando a medida que n cresce. No
entanto, para n = 10k, com k desde 1 até 10, as aproximações obtidas apresentam
k algarismos corretos, deste modo n = 1010, tem 10 algarismos corretos, o valor da
precisão proporcionada pela máquina calculadora, uma vez que a máquina apresenta
resultados com o máximo de 10 algarismos. Ora, se usarmos n = 1011, obtemos no
visor da máquina a mesma aproximação já obtida com n = 1010. Pois, internamente
os cálculos são efetuados com 14 dígitos, é possível extrair mais um algarismo cor-
reto para valor de e, o que resulta numa aproximação de e = 2.7182818284
Da mesma maneira, com n = 1012 podemos, procedendo de modo análogo, obter
mais um algarismo e, o número assim construído é 2.71828182845, porque, para
30
Aproximação do Número de Neper
n = 10k com k ≥ 14 (k inteiro), obtém-se sempre o valor 1 na máquina, isto deve-se
ao facto de, para estes valores de k , ter-se 1 + 1
10k
= 1 por ser 1
10k
menor do que a
precisão da máquina. Para n = 1013 obtém-se a aproximação 2.760577856, que não
é a melhor que aproximação dada para n = 1012.
Acredita-se que este tipo de abordagem, que constituiu um problema prático, na
matemática financeira, permitiu a introdução do número de Neper por forma a su-
perar o obstáculo que existia de considerar o infinito como um número grande, o
que levava a ideia de que 1∞ = 1 [Mao08].
... o comportamento peculiar da expressão (1 + 1
n
)n para valores grandes de n deve
parecer de facto intrigante. Suponha que consideremos apenas a expressão dentro
dos parênteses,(1 + 1
n
), à medida que n aumenta, 1
n
fica cada vez mais próximo de 0
e assim 1 + 1
n
fica cada vez mais próximo de 1, embora seja sempre maior do que 1.
Assim, podemos ser tentados a concluir que para um valor grande de n realmente
grande (...) a expressão (1+ 1
n
) pode ser substituída por 1. Agora, elevado a qualquer
potência é sempre igual a 1. Portanto, parece que (1 + 1
n
)n para valores grandes de
n deve se aproximar do número 1. [Mao08].
Vamos a seguir apresentar a prova em duas etapas de que a sucessão un = (1 +
1
n
)n
é convergente, nomeadamente, primeiro, demonstrar que a sucessão un = (1 +
1
n
)n,
é crescente e depois que está compreendida entre dois e três (2 ≤ un ≤ 3), logo o
seu limite existe [Fer09].
4.1.1 A sucessão un = (1 +
1
n
)n é crescente
Comecemos por provar que a sucessão de termo geral un = (1+
1
n
)n com (n = 1, 2, ...)
é de termos positivos e crescente. Note-se que para qualquer n inteiro e positivo,
a sucessão un = (1 +
1
n
)n é uma potência de base positiva. A demonstração de
que a sucessão é crescente será feita à custa da aplicação da fórmula do binómio de
Newton.
Desenvolvendo (1 + 1
n
)n por aplicação do binómio de Newton obtemos:
(1 +
1
n
)n =
(
n
n
)
1n(
1
n
)0 +
(
n
n− 1
)
1n−1(
1
n
)1 +
(
n
n− 2
)
1n−2(
1
n
)2 + ...
· · ·+
(
n
n− k
)
1n−k(
1
n
)k + ...+
(
n
1
)
11(
1
n
)n−1 +
(
n
0
)
10(
1
n
)n
Efetuando os cálculos obtemos:
31
Aproximação do Número de Neper
(1 +
1
n
)n =
n!
n!(n− n)! +
n!
(n− 1)!(n− n+ 1)! .
1
n
+
n!
(n− 2)!(n− n+ 2)! .
1
n2
+ · · ·
+
n!
(n− k)!(n− n+ k)! .
1
nk
+ · · ·+ · · ·+ n!
1!(n− 1)! .
1
nn−1
+
n!
0!(n− 0)! .
1
nn
= 1 + 1 +
n(n− 1)
2!
.
1
n2
+ · · ·+ · · ·+ n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!
.
1
nk
+ · · ·+
+
n(n− 1) · · · 3.2
(n− 1)! .
1
nn−1
+
n(n− 1) · · · 2.1
n!
.
1
nn
Finalmente, podemos dar ao desenvolvimento inicial a forma
(1 +
1
n
)n = 1 + 1 +
1
2!
n− 1
n
+ · · ·+ 1
k!
(n− 1) · · · (n− k + 1)
nk−1
+ · · ·+
+
1
(n− 1)!
(n− 1)(n− 2) · · · 3 .2
nn−2
+
1
n!
(n− 1) · · · 2 .1
nn−1
= 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n
) + · · ·+ 1
k!
(1− 1
n
).(1− 2
n
) · · · (1− k − 1
n
) + · · ·+ 1
(n− 1)!
(1− 1
n
).(1− 2
n
) · · · (1− n− 2
n
) +
1
n!
(1− 1
n
).(1− 2
n
) · · · (1− n− 1
n
) (4.1)
Obtivemos assim uma soma de n + 1 parcelas. Quando n aumenta, aumenta o nú-
mero de parcelas. Por outro lado, cada uma das parcelas cresce com n porque, por
exemplo,
1
k!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− k − 1
n
) <
1
k!
(1− 1
n+ 1
)(1− 2
n+ 1
) · · · (1− k − 1
n+ 1
)
cresce com n visto que qualquer dos fatores 1− i
n
é crescente com n (atenda a que
k não depende de n). Portanto un = (1− 1n)n é uma sucessão crescente.
4.1.2 A sucessão un = (1 +
1
n
)n, é limitada
A seguir vamos provar que a sucessão (1 + 1
n
)n, é limitada [Fer09].
Uma vez que qualquer um dos fatores (1− i
n
) é inferior a 1, podemos escrever (com
base na igualdade deduzida em (4.1) que
32
Aproximação do Número de Neper
(1 +
1
n
)n ≤ 1 + 1 + 1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
(4.2)
(substituindo no caso todos os fatores (1− i
n
) por 1).
Ora, como
1
k!
<
1
2k−1
(k = 3, 4, · · · , n)
temos que
(1 +
1
n
)n < 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2k−1
+ · · ·+ 1
2n−1
E, finalmente
(1 +
1
n
)n < 2 +
1
2
1− (1
2
)n−1
1− 1
2
= 2 +
1
2
− 1
2n−1
1
2
1− 1
2
(
1
2
, 1
22
, · · · , 1
2n−1 podem representar os termos de uma progressão geométrica com o
1
o
termo igual
1
2
e razão
1
2
).
Mas,
1
2
− 1
2n−1
1
2
1− 1
2
=
1
2
− 1
2n−1
1
2
1
2
= 1− 1
2n−1
Portanto,
(1 +
1
n
)n < 2 + 1− 1
2n−1
= 3− 1
2n−1
Em suma,
(1 +
1
n
)n < 3,∀n ∈ N
Por outro lado, conclui-se que un ≥ 2 (uma vez que se u1 = 2 e atendendo que
(1 + 1
n
)n é crescente).
Concluímos que,
2 ≤ (1 + 1
n
)n < 3.
O mesmo é dizermos que (1 + 1
n
)n é limitada.
Atendendo que a sucessão de termo geral (1 + 1
n
)n é monótona e limitada, com o
respeito ao teorema 3.10, ela é convergente. Denotemos por e o seu limite, ou seja,
33
Aproximação do Número de Neper
lim
n→∞
(1 +
1
n
)n = e.
4.1.3 Propriedade da sucessão un = (1 +
a
vn
)vn
A seguir vamos apresentar algumas propriedades relacionadas com o limite. Tem-se
que;
lim(1 +
1
vn
)vn = e
desde que vn tenda para +∞ ou −∞. De facto, se vn → +∞, a partir de certa
ordem vn > 1.
Consideremos, então, o número inteiro α que depende de n, tal que
α ≤ vn < α + 1.
Estas desigualdades podem tomar a forma
1
α
≥ 1
vn
>
1
α + 1
Finalmente, adicionando uma unidade, obteremos
1 +
1
α + 1
< 1 +
1
vn
≤ 1 + 1
α
Desta expressão e da inicial resulta
(1 +
1
α + 1
)α ≤ (1 + 1
vn
)vn < (1 +
1
α
)α+1
Mas,
lim
α→+∞
(1 +
1
α + 1
)α = lim
α→+∞
(1 +
1
α + 1
)α+1(1 +
1
α + 1
)−1 =
= lim
α→+∞
(1 +
1
α + 1
)α+1. lim
α→+∞
(1 +
1
α + 1
)−1
= e.1 = e
(note-se que se vn −→ +∞ também α −→ +∞).
e
lim
α→+∞
(1 +
1
α
)α+1 = lim
α→+∞
(1 +
1
α
)α(1 +
1
α
) = lim
α→+∞
(1 +
1
α
)α. lim
α→+∞
(1 +
1
α
)
= e.1 = e
34
Aproximação do Número de Neper
Então, pelo teorema 3.9 nomeadamente, teorema das sucessões enquadradas, con-
cluímos que
lim(1 +
1
vn
)vn = e
desde que vn → +∞.
Se vn → −∞, fazendo wn = −vn, temos que
(1 +
1
vn
)vn = (1 +
1
−wn )
−wn = (
1− wn
−wn )
−wn =
= (
−wn
1− wn )
wn = (
wn
wn − 1)
wn = (
wn − 1 + 1
wn − 1 )
wn = (1 +
1
wn − 1)
wn
Então,
lim
vn→−∞
(1 +
1
vn
)vn = lim
wn→+∞
(1 +
1
wn − 1)
wn = lim(1 +
1
wn − 1)
wn−1.(1 +
1
wn − 1) =
= e.1 = e
porque se vn → −∞ então wn → +∞ e podemos utilizar o resultado antes deduzido.
Assim, lim(1 + 1
vn
)vn = e desde que vn → −∞.
Vamos definir a função exponencial por
ex = lim
vn→∞
(1 +
x
vn
)vn
desde que x 6= 0 e vn → +∞ ou vn → −∞.
Basta, agora notar que
(1 +
x
vn
)vn = (1 +
1
vn
x
)vn = [(1 +
1
vn
x
)
vn
x ]x
então, sendo o limite de vn +∞ ou −∞, também o limite de vnx será +∞ ou −∞
(sinal igual ou contrário ao de vn conforme x > 0 ou x < 0), pelo que
lim(1 +
1
vn
x
)
vn
x = e.
Então,
lim[(1 +
1
vn
x
)
vn
x ]x = ex
(pode se notar que x funciona como constante; a variável é n).
35
Aproximação do Número de Neper
4.2 Aproximação do e pela série
∑+∞
n=0
1
n!
Na secção anterior calculou-se a aproximação do número de Neper através da su-
cessão un = (1 +
1
n
)n utilizando a máquina calculadora científica. Verificou-se que
o mesmo é pouco eficiente em termos de aproximação do número Neper dada a
instabilidade que apresenta, conforme se viu na tabela 4.1. Esta situação leva a
necessidade de estudar outros métodos mais sofisticados, um dos quais, é o da série∑+∞
n=0
1
n!
.
Nesta secção vamos tratar de fazer o estudo da aproximação do número de Neper
através da série
∑+∞
n=0
1
n!
, mais precisamente, demonstrar alguns resultados impor-
tantes à volta da série e calcular a aproximação do e a partir das respetivas somas
parciais.
Uma vez que a representação do número de Neper está associada à escrita de uma
soma de infinitos termos (ver 4.2), isto permite abordar uma série, que parece ser
convergente. A seguir vamos começar por provar que
lim
n→∞
(1 +
1
n
)n =
+∞∑
n=0
1
n!
= e.
Para verificar esta conjectura, inicialmente determinamos um limite superior. Isto
pode ser feito usando algumas desigualdades simples e cálculos numéricos, uma im-
portante ferramenta a ser explorada.
Seja, s =
∑+∞
n=0
1
n!
.
Para determinar se existe um limite superior para s, tem-se que:
1
n!
=
1
1.2.3.4 · · ·n =
1
1
.
1
2
.
1
3
· · · 1
n
< 1.(
1
2
)n−1 =
1
2n−1
+∞∑
n=0
1
n!
= a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · · ≤ 1 + 1 + 1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n−1
+ · · ·
+∞∑
n=0
1
n!
< 1 + 1 +
∞∑
n=1
1
2n
Obtivemos acima uma série Geométrica com o primeiro termo
1
2
e razão r = 1
2
.
Soma =
1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n−1
+ · · · =
1
2
1− 1
2
= 1.
36
Aproximação do Número de Neper
Daí: s < 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n−1
+ · · · = 1 + 1 + 1 = 3⇒ s < 3.
s > 2 porque s = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · · + 1
k!
+ · · · > 2, então s é finito e fica
limitado pela desigualdade 2 < s < 3. Deste modo, com respeito a expressão (4.2),
2 < e ≤ s < 3 sejam
un = (1 +
1
n
)n
e
sn =
n∑
k=0
1
k!
Para 2 ≤ p ≤ n, temos
un = (1 +
1
n
)n = 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n
) +
1
3!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) + · · ·+ 1
p!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · ·
(1− p− 1
n
) + · · ·+ 1
n!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− n− 1
n
)
≥ 1 + 1 + 1
2
(1− 1
n
) +
1
3!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) + · · ·+ 1
p!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) · · · (1− p− 1
n
).
Fixando p e tomando limite em n obtemos
limun ≥ 1 + 1 + 1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
p!
e ≥
p∑
k=0
1
k!
Considerando o limite quando p→∞, obtemos
e ≥ s.
Logo podemos definir
e = lim
vn→∞
(1 +
1
vn
)vn = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · · =
+∞∑
n=0
1
n!
A expressão acima permite aproximar o número de Neper, a partir de infinitas par-
celas compostas de números racionais.
Com a calculadora científica podemos calcular a aproximação do e. A tabela 4.2
apresenta as aproximações obtidas pelas somas parciais da série para alguns valores
de n. É de notar que não se verifica o mesmo erro que na tabela 4.1, os primeiros
dígitos vão ficando fixos até que o número estabiliza em 2.7182818. No entanto, é de
37
Aproximação do Número de Neper
notar igualmente que o visor da máquina calculadora contém um número limitado
de casas decimais.
O resultado do número de Neper que a máquina calculadora nos fornece (e =
2,718281828), dá-nos uma perceção de certa regularidade na parte decimal (8281),
própria de um número racional. Mas, será que o número de Neper é um número
racional?
A seguir vamos apresentar uma prova simples da irracionalidade do número de Ne-
per. A prova é por redução ao absurdo.
4.2.1 Prova da irracionalidade do e
Vamos supor que e =
p
q
, com p e q números inteiros primos entre si e q diferente de
zero.
e =
p
q
= 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
(q − 1)! +
1
q!
+
1
(q + 1)!
+ · · ·+ 1
n!
+ · · · , onde q < n.
Multiplicando-se ambos os membros por q!, teremos:
p
q
.q! = 1.q! + 1.q! +
1
2!
.q! +
1
3!
.q! + · · ·+ 1
(q − 1)! .q! +
1
q!
.q! +
1
(q + 1)!
.q!+
1
(q + 2)!
.q! + · · ·+ 1
n!
.q! + · · ·
⇔ p
q
.q! = q! + q! +
1
2!
.1.2.3.4.5.6 · · · q+ 1
3!
.1.2.3.4.5.6 · · · q+ · · ·+ 1
(q − 1)! .q.(q−1)! +
1
q!
.q! +
1
(q + 1)q!
.q! +
1
(q + 2).(q + 1)q!
.q! + · · ·+ 1
n!
.q! + · · ·
⇔ p.(q − 1) · · · 3.2.1 = [q! + q! + (3.4.5.6 · · · q) + · · ·+ q + 1] + 1
q + 1
+
+
1
(q + 2).(q + 1)
+ · · ·+ 1
n!
q! + · · ·
⇔ p.(q − 1) · · · 3.2.1− [q! + q! + (3.4.5.6 · · · q) + (4.5.6. · · · q) + · · ·+ q + 1] =
=
1
q + 1
+
1
(q + 2).(q + 1)
+ · · · 1
n!
q! + · · ·
No primeiro membro as parcelas são números inteiros positivos, porque q ≥ 2.
No segundo membro, as parcelas são frações, das quais uma vez que q ≥ 2, implica
que
1
q
≤ 1
2
, e:
38
Aproximação do Número de Neper
1
q + 1
≤ 1
3
1
(q + 2)(q + 1)
≤ 1
3
.
1
3
=
1
32
1
n!
.q! ≤ 1
3
.
1
3
· · · 1
3
=
1
3n−(q+1)
Assim sendo, no segundo membro:
1
q + 1
+
1
(q + 2).(q + 1)
+ · · · 1
n!
q!+ · · · ≤ 1
3
+
1
32
+
· · ·+ 1
3n−(q+1)
+ · · · , obtém-se uma série geométrica com o primeiro termo a1 = 1
3
e
razão r =
1
3
. A soma destas parcelas é:
1
q + 1
+
1
(q + 2)(q + 1)
+
1
n!
q!+ · · · ≤ 1
3
+
1
32
+ · · ·+ 1
3n−(q+1)
+ · · · = a1
1− r =
1
3
1− 1
3
=
1
3
2
3
=
1
2
.
Então chegamos à conclusão que um inteiro positivo é menor que
1
2
, o que é um
absurdo. Logo, o número de Neper não pode ser um número racional, ou seja, é um
número irracional.
n somas parciais da série
∑∞
n=0
1
n!
aproximação
0
1
0!
1
1
1
0!
+
1
1!
2
2
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
2.5
3
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
2.666666667
4
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
2.708333333
5
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
2.716666667
6
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
2.718055555
7
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
2.718253968
8
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
2.718278769
9
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
2.718281525
10
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
+
1
10!
2.718281801
11
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
+
1
10!
+
1
11!
2.718281828
12
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
+
1
10!
+
1
11!
+
1
12!
2.718281828
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
+
1
10!
+
1
11!
+
1
12!
+
1
13!
+ · · · + 1
30!
2.718281828
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Tabela 4.2: Tabela de aproximação do e por série infinita
39
Aproximação do Número de Neper
4.2.2 ex =
∑∞
n=0
xn
n!
Vamos em seguida provar que [Fer09],
ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
(4.3)
Como aplicação da definição 3.2.3, vamos considerar a função x → exp(x) definida
pela série de potências.
exp(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
n
n!
+ · · · =
∞∑
n=0
xn
n!
.
Então, é an =
1
n!
.
Portanto, utilizando do resultado (3.1), o seu raio de convergência é
r = lim | an
an+1
| = lim
1
n!
1
(n+ 1)!
= lim
(n+ 1)!
n!
=
limn+ 1 = +∞
pelo que o intervalo de convergência de
∑+∞
n=0
xn
n!
é ]−∞,+∞[= R. Então, o domínio
de exp(x) é R.
Efetuamos agora, exp(x).exp(y):
Recorrendo a definição 3.30 de produto de séries de potências, teremos, considerando
as séries
∑∞
n=0
1
n!
xn e
∑+∞
n=0
1
n!
yn,
a série produto
∞∑
n=0
cn
sendo
c0 = 1.1 = 1,
c1 = 1.y + x.1 = x+ y,
c2 = 1.
y2
2!
+ x.y +
x2
2!
.1 =
x2 + 2xy + y2
2!
=
(x+ y)2
2!
,
c3 = 1.
y3
3!
+ x
y2
2!
+
x2
2!
y +
x3
3!
.1 =
y3 + 3xy2 + 3x2y + x3
3!
=
(x+ y)3
3!
40
Aproximação do Número de Neper
.
.
.
cn =
(x+ y)n
n!
Portanto,
(
+∞∑
n=0
xn
n!
).(
+∞∑
n=0
yn
n!
) =
+∞∑
n=0
(x+ y)n
n!
e em consequência,
exp(x).exp(y) = exp(x+ y).
Desta forma pode-se concluir que
exp(x).exp(−x) = exp(0).
Verificando a fórmula que dá exp(x) pode-se concluir que
exp(0) = 1.
pelo que
exp(−x) = 1
exp(x)
Também
exp(rx) = exp(x+ x+ · · ·+ x) =
= exp(x).exp(x) · · · exp(x) =
= [exp(x)]r
Então
[exp(x)]r = exp(rx), r ∈ N.
Poderia se mostrar facilmente que esta propriedade é válida para qualquer r ∈ R;
então,
[exp(x)]r = exp(rx).
Todas as propriedades deduzidas, até agora, mostram uma analogia de comporta-
mento entre a função exp(x) e uma potência de base constante e expoente variável
41
Aproximação do Número de Neper
(é isto a que chamamos uma exponencial). De facto, mostra-se que
exp(1) = e
exp(x) = exp(1.x)
= (exp(1))x
= ex
pelo que podemos por
ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
(e = lim(1 +
1
n
)n).
Conclui-se que
lim
x→+∞
ex = +∞
(basta notar, atendendo ao desenvolvimento em série de potências que ex > x) e
limx→−∞ ex = 0.
(basta notar que e−x = 1
ex
).
Por outro lado, a função ex é estritamente crescente (conclui-se imediatamente da
análise de
∑+∞
n=0
xn
n!
)
De tudo o que foi dito, conclui-se que
ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
é uma aplicação de R em ]0,+∞[ estritamente crescente.
O número de Neper pode ser definido como limite, para valores grandes de n da
série:
e = lim
vn→∞
(1 +
1
vn
)vn =
+∞∑
n=0
1
n!
.
4.2.3 (ex)′ = ex
ex é uma função que é igual a sua derivada. A seguir apresentamos uma prova sim-
ples deste resultado.
42
Aproximação do Número de Neper
ex = 1 + x+
1
2!
x2 +
1
3!
x3 +
1
4!
x4 + · · ·+ x
n
n!
+ · · ·
Derivando os dois membros da igualdade, teremos
(ex)′ = (1 + x+
1
2!
x2 +
1
3!
x3 +
1
4!
x4 + · · ·+ x
n
n!
+ · · · )′
(ex)′ = 1′ + x′ + (
1
2!
x2)′ + (
1
3!
x3)′ + (
1
4!
x4)′ + · · ·+ (x
n
n!
)′ + · · ·
(ex)′ = 0 + 1 +
2x
2
+
3x2
3.2!
+
4x3
4.3!
+ · · ·+ nx
n−1
n(n− 1)! + · · ·
(ex)′ = 1 + x+
1
2!
x2 +
1
3!
x3 +
1
4!
x4 + · · ·+ x
n−1
(n− 1)! + · · · = e
x
O que mostra precisamente que a derivada de ex é igual a ela mesma ex.
4.2.4 (cex)′ = cex
Vamos a seguir provar que (cex)′ = cex, c ∈ R, é única função cuja derivada resulta
nela mesma.
Supomos que existam mais funções cujas as derivadas resultam nas referidas funções.
f ′(x) = f(x)
Se multiplicarmos ambos os lados da igualdade por e−x, teremos:
e−xf ′(x) = e−xf(x)
e−xf ′(x)− e−xf(x) = 0
(e−xf(x))′ = 0
Disto resulta;
e−xf(x) = c
f(x) = cex.
Logo, cex é única função cuja derivada resulta nela mesma.
43
Aproximação do Número de Neper
4.2.5 Erro da aproximação do ex
Vamos agora deduzir uma expressão para o erro da aproximação do e através da
truncatura da série.
Como a função f(x) = ex é infinitamente derivável, com recurso a equação (3.2)
temos que,
f(x) = ex
Para x = 0,
f(x) = ex ⇒ f(0) = e0 = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = e0 = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = e0 = 1
f ′′′(x) = ex ⇒ f ′′′(0) = e0 = 1
f (4)(x) = ex ⇒ f (4)(0) = e0 = 1
.
.
.
f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = e0 = 1
Logo, por desenvolvimento de polinómio de Taylor temos que
ex = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)
2
2!
f ′′(a) +
(x− a)3
3!
f ′′′(a) +
(x− a)4
4!
f (4)(a) + · · ·+
(x− a)n
n!
f (n)(a) +
(x− a)n+1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ), com ξ entre a e x.
Para a = 0, teremos
ex = f(0) + (x− 0)f ′(0) + (x− 0)
2
2!
f ′′(0) +
(x− 0)3
3!
f ′′′(0) +
(x− 0)4
4!
f (4)(0) + · · ·+
(x− 0)n
n!
fn(0) +
(x− 0)n+1
(n+ 1)!
eξ, com ξ entre 0 e x.
Para x = 1
e1 = f(0) + (1− 0)f ′(0) + (1− 0)
2
2!
f ′′(0) +
(1− 0)3
3!
f ′′′(0) +
(1− 0)(4)
4!
f (4)(0) + · · ·+
44
Aproximação do Número de Neper
(1− 0)n
n!
fn(0) +
(1− 0)n
(n+ 1)!
eξ, com ξ entre 0 e 1.
e1 = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+ · · ·+ 1
n!
+
1
(n+ 1)!
eξ, com ξ entre 0 e 1.
Ou seja,
e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+ · · ·+ 1
n!
+
1
(n+ 1)!
eξ, com ξ entre 0 e 1.
Estabelecido o erro da aproximação dado pela expressão
1
(n+ 1)!
eξ, como o ξ está
entre 0 e 1, podemos estimar o erro de qualquer aproximação do e. Vamos supor
por exemplo que queremos calcular o valor do e com dez casas corretas.
1
(n+ 1)!
eξ < 0.5× 10−10
Recorrendo ao resultado demonstrado acima que dá conta de que 2 < e < 3, pode-
mos assumir eξ < e1 < 3, teremos então que,
1
(n+ 1)!
3 < 0.5× 10−10
3
(n+ 1)!
<
0.5
1010
Ou seja,
3
(n+ 1)!
< 5× 10−11
Em seguida procuramos os valores que substituídos em n satisfaçam a inequação.
Para n = 1, teremos
3
2!
> 5× 10−11, portanto, não satisfaz.
Para n = 12, teremos,
3
13!
> 5× 10−11, também não satisfaz.
Para n = 13, teremos,
3
14!
= 3.4412× 10−11 < 5× 10−11, satisfaz.
45
Aproximação do Número de Neper
Portanto, para determinar o e com dez casas decimais corretas, teremos de calcular
apenas treze termos da série.
46
Aproximação do Número de Neper
4.3 Aproximação do e pelas Frações contínuas
A teoria de frações contínuas é um dos importantes assuntos da Matemática ele-
mentar que continua a despertar interesse de muitos matemáticos, sendo ainda hoje
tema de pesquisas. As frações contínuas são outra forma de representar um número
real (racional e irracional), fornece aproximações racionais surpreendentemente boas,
além de ser natural e conceitualmente simples.
Acredita-se que o uso de frações contínuas remonta aos séculos XVI, XVII e XVIII,
porém há indícios de que outros povos antigos conhecessem rudimentos desse tema.
Segundo Boyer [Boy96], os primeiros passos foram dados pelo Pietro Antonio Cataldi
de Bolonha (1548-1626), que escreveu algumas raízes quadradas na forma de frações
contínuas.
Uma fração contínua também chamada fração continuada, é uma forma importante
de representar números reais. Em geral, apresenta a expressão da forma
x = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
a4 +
.
.
.
= [a0; a1, a2, a3, a4, · · · ]
Uma fração contínua é uma expressão obtida a partir de um processo iterativo para
representação de um número como a soma de sua parte inteira mais o inverso da
sua parte fracionária. No caso do número em causa for racional, o processo termina
quando o número não mais tiver uma parte fracionária, pois que este processo pode
ser utilizado para representação dos números racionais e irracionais.
Para aproximar um número real (racional ou irracional) sob forma de frações con-
tínuas, podem ser utilizados vários procedimentos, entre os quais, o procedimento
aritmético, algébrico (com duas vias diferentes) e de Bombeli.
O número de Neper, nosso objeto de estudo, pode também ser representado sob
forma de frações contínuas, embora, a semelhança do pi e de outros números irra-
cionais, seja uma representação infinita pelo facto do e ser igualmente um número
irracional, conforme viu-se na demonstração feita na secção anterior.
Por indução matemática pode-se deduzir uma expressão geral para a soma.
47
Aproximação do Número de Neper
n∑
k=1
(−1)k+1
a1 × a2 × · · · × ak =
1
a1 +
a1
a2 − 1 + a2
a3 − 1 + a3
.
.
. +
.
.
.
an−1 − 1 + an−1
an − 1
Com a1 > 0, ai > 1, i > 1.
Fazendo, o limite n→∞, teremos que,
∞∑
k=1
(−1)k+1
a1 × a2 × · · · × ak =
1
a1 +
a1
a2 − 1 + a2
a3 − 1 + a3
.
.
. +
.
.
.
an−1 − 1 + an−1
an − 1 + . . .
Considerando que,
e−1 =
+∞∑
n=0
(−1)n
n!
,
ou seja,
e−1 − 1 =
+∞∑
n=1
(−1)n
n!
.
Sendo que,
1− e−1 =
+∞∑
n=1
(−1)n+1
n!
=
+∞∑
k=1
(−1)k+1
1× 2× 3× · · · × k .
Disto resulta que,
e− 1
e
= 1− e−1 = 1
1 +
1
2− 1 + 2
3− 1 + 3
4− 1 + 4
5− 1 + . . .
(4.4)
Invertendo (4.4), teremos,
48
Aproximação do Número de Neper
e
e− 1 = 1 +
1
1 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
.
.
.
(4.5)
Passando o 1 para o outro membro, teremos
e
e− 1 − 1 =
1
1 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
.
.
.
(4.6)
A seguir, invertendo (4.6), teremos,
e− 1 = 1 + 2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6 +
7
7 +
.
.
.
(4.7)
Finalmente, isolando o e teremos uma representação em fração contínua do número
de Neper.
e = 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6 +
7
7 +
8
8 +
9
9 +
10
10 +
11
11 +
12
12 +
13
13 +
14
14 +
.
.
.
(4.8)
Contudo, existem outras formas de representar o e por meio de frações continuas,
49
Aproximação do Número de Neper
uma das quais apresentada em (4.9). A dedução matemática de frações contínuas
pode ser consultada no livro[Cam12]
e = 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14 +
1
18 +
1
22 +
1
26 +
1
30 +
1
34 +
1
38 +
1
42 +
.
.
.
(4.9)
Com recurso a esta ferramenta matemática, podemos aproximar o e e por con-
seguinte fazer-se comparação com as duas formas vistas anteriormente, nomeada-
mente, a aproximação feita a partir da sucessão un = (1 +
1
n
)n, e da série numérica∑+∞
n=0
1
n!
. As tabelas 4.5 e 4.6 trazem a ideia dos resultados da aproximação do nú-
mero de Neper, por meio de frações contínuas sucessivas.
A convergência da aproximação do número de Neper por frações contínuas, varia em
função do tipo de frações contínuas a aplicar, sendo que algumas convergem mais
rápido do que outras. Para as frações contínuas do tipo (4.8), com 10 iterações, te-
mos o e com 9 dígitos corretos. Este processo embora seja infinito, permite estimar
o erro da aproximação sem a necessidade de fazer muitas contas. O resultado apre-
sentado na tabela 4.4 assegura-nos que para determinado número de dígitos corretos
de Neper, teremos n+ 1 frações contínuas.
A tabela 4.4 mostra o quanto a convergência pode ser rápida. Se aplicarmos outro
tipo de frações contínuas, como por exemplo (4.9), teremos uma convergência ainda
mais rápida. Com apenas 6 iterações, temos o e aproximado com 12 dígitos corretos,
uma média de dois dígitos corretos por cada iteração.
Em virtude de ter se provado a irracionalidade do e não é possível calcular todos
os seus dígitos. Porém, com os métodos estudados é possível aproximar o e com
o número de casas decimais que se deseja. Portanto, o e é representado por uma
dízima infinita não periódica como se vê nos seus primeiros 130 dígitos.
e = 2, 718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724
076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629 . . .
50
Aproximação do Número de Neper
n Fração contínua Fração resultante Aproximação Erro
x0 2 2 2 0.7182818284
x1 2 +
2
2
3
1
3 0.2817181715
x2 2 +
2
2 +
3
3
8
3
2.666666667 0.0516151619
x3 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4
30
11
2.727272727 - 0.0089908987
x4 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5
144
53
2.716981132 0.0013006964
x5 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6
840
309
2.718446602 - 0.0001647734
x6 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6 +
7
7
40320
14833
2.718263332 - 0.0000184968
x7 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6 +
7
7 +
8
8
45360
16687
2.718283694 - 0.0000018653
x8 2 +
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6 +
7
7 +
8
8 +
9
9
403200
148329
2.718281657 0.0000001709
x9 · · · 3991680
1468457
2.718281843 - 0.0000000142
x10 · · · 43545600
16019531
2.718281827 0.0000000012
Tabela 4.3: Tabela de aproximação do e por frações contínuas do tipo [4.8]
4.4 Comparação dos métodos de aproximação do número de
Neper
Como se viu no desenvolvimento deste capítulo, para a aproximação do número
de Neper, são empregues vários métodos, três dos quais analisados neste estudo,
designadamente, o método da sucessão un = (1 +
1
n
)n, o método da série
∑∞
n=0
1
n!
e o método de frações contínuas. A tabela 4.5 ilustra o comportamento de cada
51
Aproximação do Número de Neper
n Fração contínua Fração resultante Aproximação Erro
x0 1
x1 1 +
2
1
3
1
3 0.2817181715
x2 1 +
2
1 +
1
6
19
7
2.714285714 0.0039961142
x3 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10
193
71
2.718309859 - 0.0000280305
x4 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14
2721
1001
2.718281718 0.0000001103
x5 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14 +
1
18
49171
18089
2.718281828 - 0.0000000002
x6 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14 +
1
18 + 1
22
1084483
398959
2.718281828 0.0000000000
Tabela 4.4: Tabela de aproximação do e por frações contínuas do tipo [4.9]
um dos três métodos em relação à aproximação do número de Neper. O método da
sucessão, por exemplo, não é eficaz, é muito lento em termos de convergência. Para
n = 106, ou seja, para n = 1000000 tem-se apenas o número de Neper aproximado
com seis dígitos corretos, ao passo que com seis iterações aplicando o método de série
numérica obtém-se o número de Neper com oito dígitos corretos. Já o método de
frações contínuas é o mais eficaz, foram precisas apenas 6 iterações para se aproximar
o número de Neper com 12 dígitos corretos, sendo por isso, o melhor em termos de
precisão na aproximação do número de Neper se comparado com os dois anteriores.
A eficiência do método de frações contínuas, suscitou interesse de estudiosos que
desenvolveram vários tipos, alguns melhores do que outros, tal como vimos nos dois
exemplos apresentados neste trabalho.
52
Aproximação do Número de Neper
n un = (1 +
1
n
)n n
∑∞
n=0
1
n!
Fração contínua
1 2 0 1 1
10 2.593742460 1 2 1 +
2
1
3
102 2.704813829 2 2,5 1 +
2
1 +
1
6
2,714285714
103 2.716923932 3 2,666666667 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10
2,718309859
104 2.718145927 4 2,708333333 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14
2,718281718
105 2.718268237 5 2,716666667 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14 +
1
18
2,718281828
106 2.718280469 6 2,718055555 1 +
2
1 +
1
6 +
1
10 +
1
14 +
1
18 +
1
22
2,718281828
107 2.718281693 7 2,718253968 · · · · · ·
108 2.718281815 8 2,718278769 · · · · · ·
109 2.718281827 9 2,718281525 · · · · · ·
1010 2.718281828 10 2,718281801 · · · · · ·
Tabela 4.5: Comparação da aproximação do número de Neper por método
53
Aproximação do Número de Neper
54
Aproximação do Número de Neper
Capítulo 5
Aplicação do e na vida prática
O número de Neper, ou constante de Neper e tem muita importância na matemá-
tica e bastante aplicação nas demais ciências, tais como Economia, Química, Física,
Medicina e tantas outras, sobretudo em fenómenos que apresentam caraterísticas de
crescimento e ou decrescimento, como por exemplo, o crescimento de uma determi-
nada população.
Neste trabalho vamos falar precisamente de três aplicações do e na vida prática,
sendo a primeira relativa a matemática económica, nomeadamente no cálculo de
juros compostos e a segunda no processo de desintegração radioativa, a sua vasta
aplicação na Química, na Medicina, na Indústria, na Agricultura e na Arqueologia,
e uma terceira aplicação na Teoria das Probabilidades, com maior enfoque na função
de distribuição de Poisson.
5.1 Aplicação do e na Economia
Na economia, o e é tem muitas aplicações, face a sua presença em diversos fenóme-
nos económicos, uma das quais tem a ver com o cálculo de juros compostos.
Juros compostos, é uma operação monetária bastante aplicada nos sistemas finan-
ceiros, dadas as vantagens que oferece sob ponto de vista de rentabilidade. Os
juros compostos consistem em fazer aplicações sobre aplicações, ou seja, aplicação
constante de um montante em diferentes períodos de tempo (mensal, trimestral,
semestral e anual,. . . ).
O esquema abaixo, ajuda-nos a perceber melhor isto mesmo.
Vamos supor que um cliente de um determinado banco pretende aplicar o seu di-
nheiro a juros compostos numa quantia de 300 u.m. (unidade monetária) a uma
taxa de 6% ao ano.
Para a primeira capitalização, teremos;
M(1) = 300× (1 + 0.06) = 318
55
Aproximação do Número de Neper
Figura 5.1: Imagens de Euro, moeda do espaço europeu
Fonte: https://www.dicasdaitalia.com.br
Como se trata de juros compostos, teremos aplicação sobre aplicação, ou seja, tere-
mos os seguintes resultados.
M(2) = 318× (1 + 0.06) = 337.08 = 300× (1 + 0.06)2
M(3) = 337.08× (1 + 0.06) = 357.30 = 300× (1 + 0.06)3
M(4) = 357.30× (1 + 0.06) = 378.74 = 300× (1 + 0.06)4
.
.
.
Verifica-se que o montante cresce numa progressão geométrica de razão 1.06, obtendo-
se a fórmula;
M(t) = P × (1 + r)t
onde,
M(t)  Montante ou valor final
P  o Principal ou capital investido
r  taxa de juro
t  tempo ou período de capitalização
Ora, se o cliente em causa resolver aplicar a mesma taxa de juros, mas em períodos
de capitalização menores, nomeadamente, semestre, trimestre, mensal, diário e até
mesmo por hora, isto é, fazer aplicação em n períodos cada vez menores. Matema-
ticamente teremos a seguinte expressão.
M(t) = P (1 +
r
n
)nt
Para o capital inicial de 300 investido pelo cliente do banco, teremos o seguinte
rendimento, isto a julgar pelo tipo de capitalização aplicada [MT17].
56
Aproximação do Número de Neper
Capitalização n Valor final M(1)
Anual 1 318.000
Semestral 2 318.270
Trimestral 4 318.409
Mensal 12 318.503
Diário 365 318.549
Por hora 8760 318.550
Por minuto 210240 318.550
Por segundo 12614400 318.550
Tabela 5.1: Tabela de capitalização de juros compostos
Na tabela 5.1 vê-se que o montante final vai aumentando à medida que a frequên-
cia dos períodos aumenta, embora que tal aumento seja em escala cada vez menor.
Entretanto, podemos igualmente verificar que a diferença entre os resultados anual,
semestral, trimestral e mensal é um tanto ou quanto significativa. Já não se observa
o mesmo nas diferenças entre os valores finais por hora, minuto e segundo, uma vez
que as mesmas são bastante insignificantes. Existe um limite, ou seja, à medida
que n tender para números infinitamente grandes, o montante final, tenderá para
aproximadamente, 318.550.
Esta operação que desde há muito os bancos fazem, permite perceber que a mudança
no período de capitalização não aumenta necessariamente a cobrança de juros de
modo infinito, existe um limite de crescimento natural deste processo [QC17].
Assim sendo calculando o montante, teremos
M(t) = lim
n→∞
P (1 +
r
n
)nt = lim
n→∞
P ((1 +
r
n
)n)t = Pert.
Então o montante final de t anos com a capitalização contínua poderá ser calculado
facilmente usando a fórmula [Pem07]
M(t) = P × ert.
Em que,
M(t)  é o montante ou valor final
P  Principal ou Capital inicial investido
e  o número de Neper
r  taxa de juro
t  tempo
É com esta fórmula simples que os bancos conseguem calcular o montante resultante
57
Aproximação do Número de Neper
de qualquer aplicação de juros compostos continuamente a quaisquer taxas e período
t. Ora, na sua aplicação é necessário que o número de Neper seja aproximado com
um número adequado de dígitos corretos, por forma a reduzir a margem de erros e
garantir maior eficácia dos resultados pretendidos.
Exemplo
Um capital de 15000.00 Euros é aplicado a taxa anual de 10% em 4 anos, com a
capitalização contínua. Qual é o montante final?
Dados
P = 15000.00
t = 4
r = 10% = 0.1
M(t) = ?
Resolução:
M(t) = P × ert
Calculando o montante com o e aproximado com 3 dígitos corretos, ou seja, e = 2.71,
teremos o seguinte resultado.
M(t) = 15000.00× (2.71)((0.1)×4) = 22350.07
Ora, tomando o e aproximado com 10 dígitos corretos, teremos o seguinte resultado.
M(t) = 15000.00× e((0.1)×4) = 15000.00× e(0.4)
M(t) = 22377.37
Temos uma diferença de 27,3 Euros que se consubstancia em perca, neste caso em
particular, o cliente perderia essa diferença para o banco. Entretanto, se se tratasse
de um empréstimo bancário, então o banco perderia tal diferença para o cliente.
Ora, se o banco perdesse esta diferença para 1000 clientes, estávamos a falar num
prejuízo avaliado em pouco mais de 27000.00 Euros. Por outro lado, as diferenças
disto resultantes são proporcionais ao valor investido, ou seja, se se tratasse de somas
avultadas de dinheiro, o prejuízo obviamente seria maior ainda, daí a necessidade
imperiosa de se ter o e aproximado com um número adequado de casas decimais
corretas.
Por outro lado, é preciso saber que a aproximação do número de Neper com muitas
58
Aproximação do Número de Neper
ou poucas casas decimais corretas, depende muito do tipo de modelo matemático a
ser aplicado. Contudo, no capítulo anterior viu-se como estimar o erro da aproxi-
mação para uma determinada precisão que se deseja. Nos casos de cálculo de juros
compostos por exemplo, na possibilidade de determinar o número de casas corretas
para se assegurar que o erro seja menor que 0.005, teremos o seguinte.
Sabe-se que
M(t) = P × ert.
Como P, r e t são constantes, uma vez que representam números conhecidos a priori,
pode-se facilmente determinar o número de casas corretas que o e deve tomar para
um determinado modelo matemático, pela fórmula da propagação do erro
∂M
∂e
= Prtert−1
Ea(M) ≤ |Prtert−1|Ea(e)
Disto resulta que para
Ea(M) ≤ 0.005,
temos que ter
Ea(e) <
0.005
Prtert−1
.
Como a partir de um resultado anterior, sabemos que o erro da aproximação do e é
dado pela expressão
1
(n+ 1)!
eξ, que é majorado por
3
(n+ 1)!
, teremos então que;
3
(n+ 1)!
<
0.005
Prtert−1
A partir desta expressão, podemos calcular por exemplo o números de termos ne-
cessários para que o erro seja menor a 0.005.
P = 15000
t = 4
r = 0.1
3
(n+ 1)!
<
0.005
Prtert−1
3
(n+ 1)!
<
0.005
15000× 0.1× 4× 30.1×4−1
3
(n+ 1)!
< 1.61× 10−6
59
Aproximação do Número de Neper
Para n = 8
3
(9!)
> 1.61× 10−6, não satisfaz.
Para n = 9
3
(10!)
< 1.61× 10−6, portanto, satisfaz. Isto significa que para calcular o montante
final da aplicação de 15000 Euros por forma a que o erro seja menor do que 0.005,
teremos que tomar o e aproximado com 9 termos da série.
5.2 Aplicação do e na desintegração Radioativa
O e está presente nas diferentes manifestações da desintegração radioativa, conhe-
cida também por decaimento radioativo, fenómeno que consiste na transformação
de um átomo noutro através da radiação.
Com o crescente desenvolvimento científico a utilização da desintegração radioativa
conhece hoje uma vasta aplicação em várias áreas, trazendo vantagens e nalguns
casos, desvantagens, quando utilizada por exemplo na produção de material bélico,
como bombas nucleares, que hoje constituem uma séria ameaça à sobrevivência
humana [PSF12].
Figura 5.2: Imagens de desintegração radioativa
Fonte: http://www.myshared.ru/slide/1022959
Na figura 5.2 vemos imagens diferentes, porém, em todas, algo comum, a presença
do processo da desintegração radioativa ou decaimento. Este processo é transversal,
ou seja, tem aplicação em fenómenos estudados em várias ciências, como podemos
60
Aproximação do Número de Neper
ver a seguir.
Na Medicina, a ciência médica tem atualmente várias aplicações das radiações, desde
o diagnóstico de doenças até o seu tratamento. Estamos a falar por exemplo, da
radioterapia, o processo de eliminação de doenças como tumores malignos ou can-
cerígenos no qual se utiliza geralmente o Raio X ou outras fontes de eletrões para
se evitar a propagação da doença e por conseguinte garantir a restituição de células
sadias [PSF12].
Figura 5.3: Imagens de Raio X
Fonte:http://raio-x.info
Na agricultura, através do processo da radiação, usam-se elementos radioativos para,
entre outras aplicações, estudar os fertilizantes e o metabolismo dos minerais nas
plantas, por exemplo medir a quantidade de fosfato existente no solo e o consumo
de fósforo pelas plantas, bem como, no combate aos insetos.
Na indústria, a radiação é importante no processo de conservação de alimentos fres-
cos, como carnes, peixe e mariscos, uma vez que estes tipos de alimentos não pode
passar por métodos convencionais de eliminação de bactérias como a pasteurização
térmica. A radiação destrói fungos e bactérias e por conseguinte, impede o cresci-
mento de agentes produtores de deterioração.
Na Arqueologia, o processo da radiação permite por meio de fósseis achados um
pouco por todo mundo, descobrir sobre a história das criaturas que existiram há
muitos anos atrás, algumas das quais antes mesmo da existência do homem. Com
o recurso ao método do carbono 14, é possível calcular há quantos anos o ser vivo
morreu. O Carbono 14 é um isótopo instável composto de 6 protões e 8 neutrões, de
meia vida de 5730 anos. Este é formado pelo resultado de uma reação do nitrogênio
61
Aproximação do Número de Neper
14 [PSF12].
A atividade de uma fonte radioativa representa a sua taxa de desintegração, obtida
Figura 5.4: Fóssil de um animal
Fonte:http://escolakids.uol.com.br/fosseis.htm
do decaimento radioativo, para um radionuclídeo isolado, em que o decréscimo no
número de átomos do elemento radioativo por unidade de tempo N ′(t) é proporcio-
nal ao número de átomos ainda não desintegrado N(t), ou seja; [Tak06]).
N ′(t) = −λN(t) (5.1)
Este fenómeno da transformação de um átomo noutro através da emissão de ra-
diação, obedece uma lei própria, denominada Lei fundamental da desintegração
radioativa, cujo o modelo matemático resulta do seguinte:
Multiplicando-se ambos os lados da igualdade (5.1), por eλt, teremos
N ′(t)eλt = −λN(t)eλt.
Disto sai,
N ′(t)eλt + λN(t)eλt = 0.
Como a partir de resultados anteriores, sabemos que;
(N(t)eλt)′ = 0
Então;
62
Aproximação do Número de Neper
N(t)eλt = c.
N(t) = ce−λt
Assim sendo, se no instante inicial, t0, existiam N(t0) átomos
N(t0) = ce
−λt0 ⇔ c = N(t0)eλt0
Destas condições iniciais resulta que
N(t) = N(t0)e
−λ(t−t0)
ou seja,
N = N0e
−λt. (5.2)
A fórmula (5.2), denomina-se "lei fundamental da desintegração radioativa", em que:
N = número de núcleos radioativos remanescentes após um tempo t
N0 =número de núcleos radioativos na amostra num tempo t = 0
λ = Constante de desintegração
e = número de Neper
Para aplicarmos a fórmula (5.2), precisamos antes calcular a constante de desinte-
gração radioativa. [PSF12]
Vamos primeiro estabelecer as unidades em que vamos falar.
A atividade do núcleo é expressa em Becquerel (Bq) no (SI), sendo que:
1Bq = 1 desintegração radioativa por segundo
1Bq = 1 desintegração/s
Uma outra unidade importante a saber é o Curie (Ci) no SI
63
Aproximação do Número de Neper
1g =rádio −226.
A relação entre o Becquerel e Curie é dada por
1Ci = 3.7.1010Bq
Outro conceito associado ao processo de decaimento radioativo é o tempo de meia
vida. Trata-se do tempo necessário para que a quantidade de radionuclídeos de uma
amostra diminua pela metade do seu valor no inicio do fenómeno. O seu valor pode
facilmente ser retirado da equação, basta para o efeito fazer t = T 1
2
, sendo R =
R0
2
.
Ora, relacionando o tempo de meia vida (t 1
2
) e a desintegração radioativa, temos que;
N = N0e
−λt
Quando t = t 1
2
, substituindo na fórmula temos
N =
N0
2
N0
2
= N0e
−λt
1
2
= e−λt
ln(1
2
) = −λtln(e)
ln(1)− ln(2) = −λtln(e)
0− ln(2) = −λt.1
−ln(2) = −λt
ln(2) = λt
Sendo t 1
2
, tempo de meia vida, então temos que
ln(2) = λt 1
2
λ =
ln(2)
t 1
2
64
Aproximação do Número de Neper
Vamos a seguir resolver um problema para que se possa perceber melhor, uma das
aplicações do decaimento radioativo na vida prática.
Exemplo
A atividade de um certo fóssil diminui de 1530 desintegrações por segundo para
190 desintegrações por segundo já com a correção da radiação de fundo, durante o
processo de fossilização. Sendo a meia-vida do isótopo radioativo do
14C de 5730
anos, determine a idade do fóssil [Ber14].
Resolução
1530 desintegrações → 190 desintegrações
t 1
2
= 5730 anos
λ =
ln(2)
t 1
2
=
ln(2)
5730
anos−1 = 0.0001209424
N = N0e
−λt ⇒ 190 = 1530e−λt ⇒ ln(190) = ln(1530)− 0.0001209424t
5.25 = 7.33− 0.0001209424t⇒ t = ( 2.083
0.0001209424
) = 17198.269 ∼= 17198 anos
Resposta: A idade do fóssil é de 17 198 anos.
5.3 Aplicação do e na Teoria das Probabilidades
O número de Neper tem também aplicação na Teoria das probabilidades, nas dis-
tribuições de probabilidades, mais precisamente na distribuição de Poisson e distri-
buição exponencial.
A Distribuição de Poisson, é uma distribuição discreta de probabilidade que se usa
em situações em que para além do conhecimento do tamanho da amostra, sabe-se
quantas vezes que determinado acontecimento ocorreu e quantas não ocorreu. A
sua principal aplicação é a contagem do número de eventos que ocorrem de modo
independente num determinado intervalo de tempo numa região em especial [PG16].
Como por exemplo:
- O número de chamadas telefónicas que chegam numa central num determinado
65
Aproximação do Número de Neper
intervalo de tempo;
- O número de pessoas que acorrem a um estabelecimento por hora;
- O número de carros que passam por uma determinada estrada num determinado
intervalo de tempo;
- O número de artigos que existem num lote de tamanho aleatório, etc.
O modelo matemático associado a distribuição de Poisson é a função de probabili-
dade
P (X = x) =

e−λλx
x!
, x ∈ {0, 1, 2, 3, · · · }
0, x /∈ {0, 1, 2, 3, · · · }
Pode-se utilizar também a fórmula de recorrência.
f(x) = P (X = x) =
 f(0) = e
−λ,
f(x) = f(x− 1)× λ
x
, x ∈ {1, 2, 3, · · · }
Exemplo concreto da aplicação da distribuição de Poisson
O número de chamadas que chegam à central telefónica de uma associação de táxi é
uma variável aleatória de Poisson com a média de 1.5 chamadas em cada 10 minutos
Figura 5.5: Imagem de uma Associação de táxi
[Fonte: http://visao.sapo.pt/actualidade/sociedade]/2016-03-16-O-mundo-
paralelo-dos-taxis
Considere o período das 10:00 e as 10:10. Determine a probabilidade da associação:
1. Não receber qualquer chamada.
66
Aproximação do Número de Neper
2. Receber mais de 2 chamadas.
Resolução:
Seja
Xt = número de chamadas que chegam à central telefónica no intervalo de tempo t
(minutos)
λ = número médio de chamadas que chegam à central telefónica por minuto.
Então,
Xt ∼ Poisson(0.15t)
t = 10, λt = 1.5
a) P (X10 = 0) =
e−λλx
x!
Para o e aproximado com três dígitos corretos, ou seja e = 2.71, teremos
P (X10 = 0) =
(2.71)(−1.5)(1.5)0
0!
= 0.22415, ou seja, é de aproximadamente 22.41%
Ora, fazendo a mesma operação, e tomar o e aproximado com 10 dígitos corretos,
teremos
P (X10 = 0) =
e(−1.5)(1.5)0
0!
= 0.2231, ou seja, 22.31%
b) P (X10 > 2) = 1− P (X10 = 0)− P (X10 = 1)− P (X10 = 2)
Para e = 2.71, teremos
P (X10 > 2) = 1− (2.71)−1.5( (1.5)00! + (1.5)
1
1!
+ (1.5)
2
2!
)
P (X10 > 2) = 0.1874, o mesmo que 18.74%
Para o e aproximado com 10 dígitos corretos, teremos
P (X10 > 2) = 1− e−1.5( (1.5)00! + (1.5)
1
1!
+ (1.5)
2
2!
)
P (X10 > 2) = 0.191, ou seja, 19.1%
Obs.: Na resolução do exercício vê-se claramente a diferença nos resultados, con-
forme a aproximação do e seja com três ou com 10 dígitos corretos:
Na alínea a) temos 22.41% ao invés de 22.51% obtidos anteriormente e na alínea
67
Aproximação do Número de Neper
b)18.74% ao invés de 19.1%
Portanto, em qualquer aplicação do e, é fundamental que seja aproximado com um
número adequado de dígitos corretos, sob pena de se obter resultados que em nada
tenham a ver com a realidade, ou pelo menos, distantes da precisão necessária.
68
Aproximação do Número de Neper
Capítulo 6
Considerações finais
O desenvolvimento do presente estudo Aproximação do número de Neper permitiu
fazer uma abordagem significativa à volta do número de Neper, também conhecido
por euler, uma das constantes importantes da matemática.
A abordagem histórica permitiu trazer informações ligadas ao surgimento do nú-
mero de Neper e relaciona as duas teorias da origem deste número, designadamente,
a do surgimento do número de Neper a partir da descoberta dos logaritmos e a outra
que defende a origem do mesmo nas questões financeiras, precisamente no cálculo
de juros compostos. A abordagem, histórica apresenta igualmente, as contribuições
dos matemáticos John Napier (1550 - 1617), Henry Briggs (1561 - 1631), Jost Burgi
(1552 - 1632) e Leonhard Euler (1707  1783) para o estudo do número de Neper.
O trabalho demonstra como calcular as aproximações do número de Neper com um
maior número de dígitos corretos com recurso aos métodos da sucessão un = (1+
1
n
)n,
da série
∑∞
n=0
1
n!
e das frações contínuas. Compara a eficiência destes métodos e con-
clui que o método de frações contínuas é o mais eficiente. Ainda assim, conclui que
o método da sucessão un = (1 +
1
n
)n aplicado no ensino secundário, deve ser mais
explorado, ou seja, deve se aumentar a aproximação para pelo menos 10 dígitos
corretos em vez de aproximá-lo apenas com dois ou três dígitos corretos. O método
da série e o método das frações contínuas poderão ser ministrados no ensino superior.
O trabalho permitiu concluir igualmente que nas aplicações do número de Neper nas
diversas ciências para explicar determinados fenómenos da vida prática, o e deverá
ser aproximado com um número adequado de dígitos corretos, por forma a elevar a
eficiência e eficácia dos resultados.
Acredita-se que o presente estudo é uma ferramenta colocada à disposição de alunos
e demais leitores, para aprofundarem a sua aprendizagem sobre o número de Neper.
Tal como em qualquer obra científica, a abordagem sobre a aproximação do número
de Neper não se esgota neste trabalho, há ainda muito por ser desenvolvido para
melhor explorar o significado e a importância deste número na matemática e não só.
69
Aproximação do Número de Neper
Para se melhorar o ensino e aprendizagem do número de Neper no ensino secundário,
julga-se importante que o seu estudo seja progressivo ao longo das três classes que
compreendem o secundário.
No décimo primeiro ano, sugere-se a partir do estudo do e = limn→∞(1 + 1n)
n
se
melhore a abordagem histórica do número de Neper, fazer referência ao surgimento
e as contribuições de determinados matemáticos na descoberta do mesmo e as dis-
tintas aplicações na matemática e nos fenómenos que são estudados noutras ciências
para a resolução de problemas da vida prática. Os alunos deverão saber sobre a
necessidade de se aproximar o e com maior número de casas corretas e aproveitar-se
a ocasião para fazê-lo com a sucessão un = (1 +
1
n
)n até 10 dígitos corretos.
Já no décimo segundo ano, os alunos deverão aprofundar o seu conhecimento sobre
a importância do número de Neper na matemática, especificamente a sua aplicação
em vários conteúdos de matemática tais como sucessões e séries, funções exponen-
ciais e logarítmicas e no cálculo diferencial e integral. Ainda nesta classe, os alunos
deverão saber mais sobre a transversalidade dos conteúdos matemáticos em que o
número de Neper é aplicado, com realce para modelagem matemática de fenómenos
com características de crescimento ou decrescimento.
Deverá se aproveitar fazer a demonstração da derivada da função f(x) = cex ser
igual a cex, única função cuja derivada resulta nela mesma.
Os alunos deverão saber que o estudo sobre o número de Neper continua com maior
profundidade no ensino superior onde são estudados outros métodos de aproxima-
ção, entre os quais, o método da série numérica e o método de frações contínuas,
bem como as demonstrações de importantes resultados como, por exemplo, a prova
da irracionalidade do e.
70
Aproximação do Número de Neper
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