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Publicação
Aplicações harmónicas de superfícies de Riemann sobre espaços simétricos
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Orientador(es)
Resumo(s)
Descrevemos como a operação de somar um unitão surge através do método de Dorfmeister, Pedit e Wu (DPW) que permite obter aplicações harmónicas em espaços simétricos Riemannianos compactos a partir de certas 1-formas holomorfas. Exploramos este ponto de vista para investigar quais os unitões que preservam a propriedade do tipo nito das aplicações harmónicas. Em particular, provamos que o brado de Gauss de uma aplicação harmónica do tipo nito numa Grassmanniana também é do tipo nito. Provamos que qualquer aplicação harmónica da esfera de dimensão 2 num grupo de Lie compacto semi-simples de matrizes pode ser reduzida a uma constante usando as acções de revestimento singular, isto é, as singular dressing actions introduzidas por Bergvelt e Guest. Encontramos também geradores para o grupo dos lacetes racionais das representações fundamentais de Sp(n)C e SU(n)C: em ambos os casos a classe dos geradores é um pouco maior do que a classe de factores simples (lacetes racionais com um número mínimo de singularidades, cuja acção de revestimento pode ser calculada explicitamente). Estabelecemos fórmulas explícitas para as factorizações canónicas de soluções estendidas que correspondem a aplicações harmónicas com número de unitão nito no grupo de Lie excepcional G2 em termos do modelo Grassmanniano. É dada uma descrição dos geradores do referencial de Frenet para estas aplicações harmónicas. Em particular, mostramos que aplicações harmónicas da esfera de dimensão 2 em G2 correspondem a soluções de certos sistemas algébricos de equações quadráticas e cúbicas.
We describe how the operation of adding a uniton arises via the Dorfmeister, Pedit and Wu (DPW) method of obtaining harmonic maps into compact Riemannian symmetric spaces out of certain holomorphic one forms. We exploit this point of view to investigate which unitons preserve nite type property of harmonic maps. In particular, we prove that the Gauss bundle of a harmonic map of nite type into a Grassmannian is also of nite type. We prove that any harmonic map φ from a two-sphere into an arbitrary compact semisimple matrix Lie group may be reduced to a constant by using the singular dressing actions introduced by Bergvelt and Guest. We also prove generating theorems for the group of rational loops of the fundamental representations of Sp(n) C and SU(n) C: in both cases the class of generators is slightly larger than the class of simple factors (rational loops having a minimum number of singularities, whose dressing action can be computed explicitly). We establish explicit formulae for canonical factorizations of extended solutions corresponding to harmonic maps of nite uniton number into the exceptional Lie group G2 in terms of the Grassmannian model. A description of the Frenet frame data for such harmonic maps is given. In particular, we show that harmonic maps from a two-sphere into G2 correspond to solutions of certain algebraic systems of quadratic and cubic equations.
We describe how the operation of adding a uniton arises via the Dorfmeister, Pedit and Wu (DPW) method of obtaining harmonic maps into compact Riemannian symmetric spaces out of certain holomorphic one forms. We exploit this point of view to investigate which unitons preserve nite type property of harmonic maps. In particular, we prove that the Gauss bundle of a harmonic map of nite type into a Grassmannian is also of nite type. We prove that any harmonic map φ from a two-sphere into an arbitrary compact semisimple matrix Lie group may be reduced to a constant by using the singular dressing actions introduced by Bergvelt and Guest. We also prove generating theorems for the group of rational loops of the fundamental representations of Sp(n) C and SU(n) C: in both cases the class of generators is slightly larger than the class of simple factors (rational loops having a minimum number of singularities, whose dressing action can be computed explicitly). We establish explicit formulae for canonical factorizations of extended solutions corresponding to harmonic maps of nite uniton number into the exceptional Lie group G2 in terms of the Grassmannian model. A description of the Frenet frame data for such harmonic maps is given. In particular, we show that harmonic maps from a two-sphere into G2 correspond to solutions of certain algebraic systems of quadratic and cubic equations.
Descrição
Palavras-chave
Geometria diferencial Grupos de lacetes Aplicações harmónicas Modelo de Grassmann
Contexto Educativo
Citação
Editora
Universidade da Beira Interior