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A quantificação e caracterização da dependência entre extremos de campos aleatórios é de primordial importância para a modelação estatística. Nos campos aleatórios Gaussianos a função de correlação caracteriza a estrutura de dependência mas o
pressuposto de Gaussianidade é inadequado quando se pretende modelar o comportamento
da cauda de uma distribuição. Neste caso, os coeficientes de dependência
entre extremos de campos aleatórios, já existentes na literatura, desempenham um
papel importante.
Neste trabalho estudamos a dependência entre valores extremos de campos aleatórios
max-estáveis através da introdução de novos coeficientes de dependência. Assim,
tendo em conta a importância de avaliar a dependência em diferentes direções,
quando o campo aleatório é anisotrópico, apresentamos uma abordagem multivariada
e multidirecional da dependência extremal através de matrizes de coeficientes de
dependência, deduzimos relações entre coeficientes e propomos um algoritmo para
os determinar. Segue-se a introdução de um coeficiente que resume a dependência
extremal entre os máximos das variáveis indexadas em dois conjuntos disjuntos
de localizações, que designamos madograma generalizado, e o estudo das suas propriedades.
Na sequência do interesse em quantificar o impacto da ocorrência de um acontecimento extremo numa dada localização a um conjunto de localizações
vizinhas, introduzimos os índices de contágio e estabilidade e estudamos as suas
propriedades. O índice de contágio permite avaliar em que medida a ocorrência
de uma excedência de um nível elevado se pode propagar e contagiar um conjunto
de localizações vizinhas. O índice de estabilidade permite analisar a oscilação de
um campo num conjunto de localizações relativamente a uma localização específica.
Para todos os coeficientes introduzidos propomos estimadores, demonstramos
algumas das suas propriedades e aplicamo-los em amostras de dados simulados e de dados reais. Por fim, introduzimos um modelo espacial autoregressivo de máximos,
baseado no modelo de Haslett (1979), provamos algumas das suas propriedades e
avaliamos a dependência extremal com os coeficientes propostos.
Quantifying and characterizing dependence between extreme values of random fields has great importance for statistical modeling. In Gaussian random fields the correlation function characterizes the dependence structure, but the Gaussian requirement is unsuited when trying to model the behavior of the tail of a distribution. In this case, dependence coefficients between extremes of random fields, existing in the literature, have an important role. In this work we study the dependence between extreme values of max-stable random fields through the introduction of new dependence coefficients. Thus, given the importance of evaluating dependence in different directions when a random field is anisotropic, we present a multivariate and multidirectional approach for extremal dependence by matrices of dependence coefficients, deduce relationships between the coefficients and propose an algorithm to compute them. It follows the introduction of a coefficient that summarizes extremal dependence between the maxima of variables indexed in two disjoint sets of locations, called generalized madograma, and the study of its properties. Following the interest in quantifying the impact that an extreme event in a given location has in a neighboring set of locations, we introduce the contagion and stability indices and study their properties. The contagion index enables the evaluation of the effect that an exceedance of a high level has on a surrounding set of locations. The stability index allows the analysis of the regional smoothness of a random field associated to a specific location. We propose estimators for all the introduced coefficients, prove some of their properties and apply them to simulated and real data. Finally, we introduce a spatial autoregressive maximum model, analogous to the model introduced in Haslett (1979), prove several of its properties and evaluate its spatial dependence with the proposed coefficients.
Quantifying and characterizing dependence between extreme values of random fields has great importance for statistical modeling. In Gaussian random fields the correlation function characterizes the dependence structure, but the Gaussian requirement is unsuited when trying to model the behavior of the tail of a distribution. In this case, dependence coefficients between extremes of random fields, existing in the literature, have an important role. In this work we study the dependence between extreme values of max-stable random fields through the introduction of new dependence coefficients. Thus, given the importance of evaluating dependence in different directions when a random field is anisotropic, we present a multivariate and multidirectional approach for extremal dependence by matrices of dependence coefficients, deduce relationships between the coefficients and propose an algorithm to compute them. It follows the introduction of a coefficient that summarizes extremal dependence between the maxima of variables indexed in two disjoint sets of locations, called generalized madograma, and the study of its properties. Following the interest in quantifying the impact that an extreme event in a given location has in a neighboring set of locations, we introduce the contagion and stability indices and study their properties. The contagion index enables the evaluation of the effect that an exceedance of a high level has on a surrounding set of locations. The stability index allows the analysis of the regional smoothness of a random field associated to a specific location. We propose estimators for all the introduced coefficients, prove some of their properties and apply them to simulated and real data. Finally, we introduce a spatial autoregressive maximum model, analogous to the model introduced in Haslett (1979), prove several of its properties and evaluate its spatial dependence with the proposed coefficients.
Description
Keywords
Matrizes de coeficientes de dependência Medelação estatística Teoria de valores extremos Coeficientes de dependência
Citation
Publisher
Universidade da Beira Interior