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Authors
Abstract(s)
Nesta tese, apresenta-se uma nova formulação do método dos elementos nitos móveis,
para se obter a solução aproximada de uma vasta classe de problemas de evolução, do tipo
@y
@t
=
Xd
I=1
FI
@2y
@x2
I
+ g ;
de nidos em domínios espaciais de Rd, com d = 1; 2, que são caracterizados por apresentarem
fronteira móvel. A originalidade está presente no desenvolvimento do algoritmo numérico que
conduz à aplicação computacional para resolver problemas multifase bidimensionais com duas
interfaces móveis. Os elementos da matriz diagonal FI , bem como os do vetor g, são funções de
x, t, y e das derivadas @y=@xI . No caso bidimensional, o domínio espacial inicial do problema,
que pode possuir uma geometria não retangular, é discretizado por intermédio de elementos
nitos triangulares. São usadas malhas possuindo diferentes tipos de simetria. Os vértices da
malha espacial movem-se no tempo de modo a permitir uma descrição e ciente da posição da
fronteira móvel e de modo a que a solução seja convenientemente representada. Esta representa
ção consiste numa aproximação por funções interpoladoras, seccionalmente polinomiais
de grau superior a um. Desenvolve-se a formulação do método adotado, recorrendo-se a um
elemento nito xo de referência. Para cada uma das variáveis dependentes, associa-se uma
malha espacial, o que é inovador em domínios espaciais bidimensionais. O facto de se poder
trabalhar com malhas distintas, permite simular todas as interfaces móveis num problema com
mais de uma fase de interesse. A técnica usada foi implementar uma decomposição do domínio
espacial do problema com a introdução de nós que vão descrever a posição de uma interface
em cada instante.
Estuda-se a solubilidade global do problema dado inicialmente para o caso em que a
m-ésima equação é de nida por
(FI )m;m = am
Z
t
y (m)(x; t)dx
e gm = gm(x; t) ;
onde é uma permutação dos elementos de f1; :::; ng, com m = 1; :::; n. Prova-se a existência
e unicidade de soluções fortes para n = 1; 2, assim como o decaimento exponencial das
soluções. É de realçar que o último resultado é obtido diretamente no domínio não cilíndrico.
O sistema de equações é discretizado utilizando o método de Galerkin no espaço e um método
de Crank-Nicolson no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém-se a
ordem de convergência em função dos parâmetros da discretização. São apresentados exemvii
O MEFM para problemas evolutivos com fronteira móvel
plos numéricos ilustrativos da in uência dos dados iniciais no comportamento assintótico das
soluções. Tanto quanto é possível saber, estes resultados são os primeiros nesta direção para
equações com um termo difusivo não local do tipo apresentado.
O código desenvolvido com base no método adotado permite a simulação de sistemas de
equações diferenciais do tipo apresentado, em domínios espaciais de dimensão 1 e 2 com fronteira
parcialmente ou totalmente móvel. A discretização espacial, que origina a construção de
um sistema de equações diferenciais ordinárias de grande dimensão, é a principal tarefa a ser
implementada. Para o conseguir, constrói-se um conjunto de funções do Matlab que implementam
o algoritmo numérico de modo a que o utilizador tenha apenas que caracterizar o problema
a resolver. É de realçar que esta nova aplicação computacional geral, desenhada em Matlab,
pode ser utilizada de modo simples, por um utilizador com conhecimentos de nível básico em
Matlab, para resolver de modo e ciente uma grande variedade de problemas evolutivos, incluindo
problemas em que ocorrem mudança de fases. São resolvidos vários problemas e os
resultados numéricos são comparados com os fornecidos na literatura, evidenciando a e cácia
e potencialidade do método e a robustez e performance do código numérico desenvolvido.
Description
Keywords
Método dos elementos finitos Equações diferenciais ordinárias Equações parabólicas