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- Aproximação Numérica de Equações Diferenciais Parciais Não Lineares com Aplicações em FinançasPublication . Chihaluca, Teófilo Domingos; Almeida, Rui Manuel Pires; Duque, José Carlos MatosNeste trabalho, faz-se um estudo sobre a aplicação do método de elementos finitos na resolução de uma equação diferencial parcial generalizada de Black-Scholes que surge ao calcular o preço de opções, considerando os custos de transação. Outro objetivo deste trabalho é o estudo da EDP Delta Greek. No estudo da equação Delta de Black-Scholes não linear, supõe-se que o coeficiente de difusão da equação parabólica não linear para o preço V é uma função linear do preço do ativo subjacente da opção e do Gamma Greek Vxx. A existência de solução viscosa é provada, usando o vanishing viscosity method. Regularizando a equação, adicionando uma pequena perturbação ao problema inicial, uma sequência de soluções aproximadas u" é então construída e, em seguida, o método de limites fracos é aplicado para provar a convergência da sequência para a solução viscosa da equação Delta. Os problemas aproximados construídos demonstram ter boa regularidade, o que permite o uso de métodos numéricos eficientes e robustos. Discretizam-se então os problemas aproximados, utilizando o método dos elementos finitos com aproximação de grau arbitrário no espaço e o método de Crank-Nicolson no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém-se a ordem de convergência em função dos parâmetros de discretização. Para ilustrar os resultados teóricos e a aplicabilidade do método, são apresentados alguns resultados numéricos implementados em Matlab. Para as opções americanas, os problemas são considerados de fronteira livre. Um termo de penalidade é acrescentado à equação para resolver a mesma em todo o domínio espacial. O método de elementos finitos com bases de Hermite são usados para discretizar na direção espacial e o método de Crank-Nicolson na direção temporal. A fronteira livre é estimada a partir da condição da primeira derivada. A eficiência e a precisão do método proposto são testadas numericamente. Neste sentido, os resultados computacionais são fornecidos para alguns modelos de opções europeias e americanas de compra e venda e estes confirmam o comportamento teórico das soluções e também são concordantes com as soluções exatas para o caso linear.