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Authors
Abstract(s)
Neste trabalho, faz-se um estudo sobre a aplicação do método de elementos finitos na
resolução de uma equação diferencial parcial generalizada de Black-Scholes que surge
ao calcular o preço de opções, considerando os custos de transação.
Outro objetivo deste trabalho é o estudo da EDP Delta Greek. No estudo da equação
Delta de Black-Scholes não linear, supõe-se que o coeficiente de difusão da equação
parabólica não linear para o preço V é uma função linear do preço do ativo subjacente
da opção e do Gamma Greek Vxx. A existência de solução viscosa é provada,
usando o vanishing viscosity method. Regularizando a equação, adicionando uma pequena
perturbação ao problema inicial, uma sequência de soluções aproximadas u" é
então construída e, em seguida, o método de limites fracos é aplicado para provar a
convergência da sequência para a solução viscosa da equação Delta. Os problemas aproximados
construídos demonstram ter boa regularidade, o que permite o uso de métodos
numéricos eficientes e robustos. Discretizam-se então os problemas aproximados, utilizando
o método dos elementos finitos com aproximação de grau arbitrário no espaço e
o método de Crank-Nicolson no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas
e obtém-se a ordem de convergência em função dos parâmetros de discretização. Para
ilustrar os resultados teóricos e a aplicabilidade do método, são apresentados alguns
resultados numéricos implementados em Matlab.
Para as opções americanas, os problemas são considerados de fronteira livre. Um termo
de penalidade é acrescentado à equação para resolver a mesma em todo o domínio espacial.
O método de elementos finitos com bases de Hermite são usados para discretizar na
direção espacial e o método de Crank-Nicolson na direção temporal. A fronteira livre é
estimada a partir da condição da primeira derivada. A eficiência e a precisão do método
proposto são testadas numericamente. Neste sentido, os resultados computacionais são
fornecidos para alguns modelos de opções europeias e americanas de compra e venda
e estes confirmam o comportamento teórico das soluções e também são concordantes
com as soluções exatas para o caso linear.
We study an application of the finite element method for solving numerically a generalized partial differential Black-Scholes equation which arises when calculating option prices with transaction costs. Another aim of this work is to study the PDE Delta Greek. When studying the nonlinear Black-Scholes Delta equation, the diffusion coefficient of the nonlinear parabolic equation for price V is assumed to be a linear function of the option underlying asset price and the Gamma Greek Vxx. The existence of a viscous solution is proven using the vanishing viscosity method. Regularizing the equation, by adding a small disturbance to the initial problem, a sequence of approximate solutions u" is constructed and then the method of weak limits is applied to prove the convergence of the sequence to the viscous solution of the Delta equation. The approximate problems constructed show good regularity, which allows the use of efficient and robust numerical methods. The approximate problems are then discretized using the finite element method with arbitrary degree approximation in space and the Crank-Nicolson method over time. Convergence of the discrete solutions is proved, and the convergence order is obtained in function of discretization parameters. In order to illustrate the theoretical results and the applicability of the method, some numerical results implemented in Matlab are presented. For American options, free-bound problems are considered. A penalty term is added to the equation so that it may be solved in the enter special domain. The FEM with Hermite polynomials is used for spatial discretization in the spatial direction and the Crank-Nicolson method for temporal discretization. The free boundary is estimated from the condition of the first derivative. The efficiency and accuracy of the method proposed are tested numerically. Computational results are presented for some European and American trading option models, and these confirm the theoretical behavior models of the solutions and are also in agreement with the exact solutions in the linear case.
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We study an application of the finite element method for solving numerically a generalized partial differential Black-Scholes equation which arises when calculating option prices with transaction costs. Another aim of this work is to study the PDE Delta Greek. When studying the nonlinear Black-Scholes Delta equation, the diffusion coefficient of the nonlinear parabolic equation for price V is assumed to be a linear function of the option underlying asset price and the Gamma Greek Vxx. The existence of a viscous solution is proven using the vanishing viscosity method. Regularizing the equation, by adding a small disturbance to the initial problem, a sequence of approximate solutions u" is constructed and then the method of weak limits is applied to prove the convergence of the sequence to the viscous solution of the Delta equation. The approximate problems constructed show good regularity, which allows the use of efficient and robust numerical methods. The approximate problems are then discretized using the finite element method with arbitrary degree approximation in space and the Crank-Nicolson method over time. Convergence of the discrete solutions is proved, and the convergence order is obtained in function of discretization parameters. In order to illustrate the theoretical results and the applicability of the method, some numerical results implemented in Matlab are presented. For American options, free-bound problems are considered. A penalty term is added to the equation so that it may be solved in the enter special domain. The FEM with Hermite polynomials is used for spatial discretization in the spatial direction and the Crank-Nicolson method for temporal discretization. The free boundary is estimated from the condition of the first derivative. The efficiency and accuracy of the method proposed are tested numerically. Computational results are presented for some European and American trading option models, and these confirm the theoretical behavior models of the solutions and are also in agreement with the exact solutions in the linear case.
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Description
Keywords
Método dos Elementos Finitos Método de Crank-Nicolson Equação de Black-Sholes não linear Equação Delta Custos de transação Opções Europeias e Americanas Convergência