Teorema de Morley

Ramos, Cláudia Sofia Monteiro Antunes Craveiro

http://hdl.handle.net/10400.6/1847

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Teorema de Morley.pdf		52.35 MB	Adobe PDF	Download

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Authors

Ramos, Cláudia Sofia Monteiro Antunes Craveiro

Advisor(s)

Cruz, Henrique José Freitas da

Abstract(s)

A Matemática pode ser definida como uma ciência rigorosa e precisa que tem por objectivo medir grandezas e as suas propriedades. No entanto, também pode ser definida como a ciência do conhecimento e da aprendizagem. Apesar de ainda não haver um consenso quanto à sua definição, a Matemática está permanentemente em desenvolvimento e a evoluir cada vez mais. Segundo José Sebastião e Silva “seria possível dizer o que é a matemática se esta fosse uma ciência morta, mas a matemática é, pelo contrário, uma ciência viva, que se encontra hoje, mais do que nunca, em rápido desenvolvimento, proliferando cada vez mais em novos ramos, que mudam não só a sua fisionomia, como até a sua essência”. Um dos ramos mais antigos da matemática e que tem evoluído ao longo dos tempos, é a Geometria. Muitos foram os matemáticos que contribuíram para a sua evolução tais como Arquimedes, Pitágoras, Euclides. Mais recentemente, Guass, Riemann e outros matemáticos introduziram vários conceitos e diversos métodos na resolução de problemas interessantes da Geometria. As construções geométricas com régua não graduada e compasso, são um dos temas mais antigos e importantes da Geometria de Euclides. Os três problemas clássicos da geometria são exemplos de alguns enigmas que desafiaram várias gerações de matemáticos. Um resultado da Geometria Euclidiana que foi aparentemente ignorado pelos gregos, pela impossibilidade da trissecção do ângulo e que apenas foi descoberto no século XX, é o Teorema de Morley. O teorema afirma que os três pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes de um triângulo qualquer são vértices de um triângulo equilátero. Este resultado tem vindo a ser redescoberto por vários matemáticos, não só pela sua simplicidade e beleza, mas também pelo interesse que despertou no mundo da matemática. O teorema descoberto pelo professor Frank Morley, não foi tornado público logo após a sua descoberta, mas pensa-se que foi por volta de 1900. A primeira vez que se mencionou o teorema na literatura foi num problema proposto por E. J. Ebden, na revista The Educacional Times em 1908. Foram ainda publicadas três soluções na mesma revista, uma trigonométrica por M. Satyanarayana e duas envolvendo apenas geometria plana, uma apresentada por Naraniengar e outra por W. F. Beard. Mais tarde, em 1913, F.G. Taylor e W. L. Marr publicaram na Sociedade Matemática de Ediburgo o artigo, “Six trisectores of each of the angles of a triangle”, onde provaram o teorema, apontando a descoberta deste ao professor Morley. Outros artigos interessantes surgiram no ano de 1923, J. M. Child apresentou uma prova geométrica e R. Bricant apresentou duas provas, uma baseada em conceitos elementares da geometria e outra usando números complexos. Apenas em 1924, Frank Morley publicou no jornal da Associação Matemática do Japão para o ensino secundário, o artigo “On the intersections of the trisectores of the angles of a triangle”. Ainda em 1927, Philip Franklin, relacionou a Recta de Simson, o Teorema de Morley e a hipociclóide de três cúspides de um triângulo. A demonstração do Teorema é apresentada em meia dúzia de linhas no livro Inversive Geometry em 1933, cujos autores são Frank Morley e seu filho F. V. Morley. O presente trabalho tem como objectivo desenvolver o estudo realizado por Frank Morley. Numa fase inicial deste estudo, será abordada a vida e obra do matemático que deu nome ao teorema. Serão ainda analisados alguns resultados auxiliares ao estudo a ser desenvolvido. No primeiro capítulo, iremos apresentar o teorema e serão analisadas duas possíveis demonstrações, sendo uma geométrica apresentada por M.T. Naraniengar e outra baseada em alguns conceitos básicos de trigonometria. Ainda neste capítulo iremos estudar algumas generalizações do teorema, bem como algumas propriedades interessantes. No segundo capítulo, será apresentada e estudada outra versão do teorema, que envolve paralelogramos. No capítulo seguinte será apresentado um breve estudo sobre os Polígonos de Morley. Posteriormente, no último capítulo, será apresentada uma proposta de trabalho com o objectivo de aplicar o teorema ao ensino do 3º Ciclo da Matemática. Na fase final, será feita uma reflexão sobre o trabalho elaborado, aqui apresentado e analisado.