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Os polinómios matriciais têm um papel importante na teoria das equações diferenciais matriciais
resultantes de formulações matemáticas cada vez mais exigentes. Precisamente, uma abordagem
para o problema de cálculo numérico de soluções de equações diferenciais matriciais é feita através
da computação de solventes do polinómio matricial associado P(X) (Lancaster [25], pag. 525).
O primeiro trabalho que se conhece neste âmbito está presente em Dennis [9], que deu origem
ao desenvolvimento da teoria algébrica dos polinómios matriciais Dennis [10] e [11] e onde são
apresentados Algoritmos de cálculo de solventes. Chama-se à atenção do leitor para Dennis [11],
pág. 524, onde são de nidos dois métodos iterativos que permitem o cáculo de solventes.
O primeiro, citado como método de Traub, permite a computação do solvente dominante, isto é,
do solvente cujos valores próprios são maiores, em módulo, do que os valores próprios de qualquer
outro solvente. O segundo Algoritmo é uma versão matricial do método de Bernoulli, que consiste
basicamente no método da Potência aplicado à matriz companheira de P(X). Após Dennis [11]
vários trabalhos consideraram este método (Lancaster [22], Tsai [38], Higham [19], Pereira [34]).
O método de Newton clássico também foi adaptado ao contexto dos polinómios matriciais, primeiro
à equação quadrática (Davis [5], Kratz [21], Higham [18], Long [26]) e posteriormente para
polinómios de grau m qualquer. Recentemente foi também objeto de estudo em Higham [19] e
Pereira [33].
Todos os métodos referidos são desenvolvidos com base na álgebra matricial, isto é, com base
na equação P(X) = 0n n em Cn n. No presente trabalho é desenvolvido um método do ponto
xo considerando as entradas do polinómio matricial P(X), reduzindo o problema ao nível escalar
tentando com isso evitar os problemas de cálculo derivados da álgebra matricial sobretudo quando
estes envolvem a inversa de uma matriz.
É também apresentada uma versão vetorial do método de Newton para polinómios matriciais. Na
sequência da ideia desenvolvida em (Marcos [27], pág. 357), onde a equação matricial
P(X) = 0n n é trabalhada ao nivel escalar, é também considerado o método de Newton aplicado
à equação formada por n n equações polinomiais. O objetivo é evitar a derivada de Fréchet
e a resolução da respetiva equação matricial de Silvester em cada iteração, tal como acontece no
método de nido em (Higham [18], pág. 4).
De acordo com Dennis [9], pág. 80, se X é um solvente do polinómio matricial P(X) então X
um bloco valor próprio da matriz companheira, CV = V X no caso mónico, ou bloco valor próprio
do feixe companheiro, C1V = C2V X no caso não mónico. Relativamente a métodos iterativos
com aplicação no cálculo de blocos valores próprios, pelo que se conseguiu apurar, existe apenas o
método da Potência de nido em (Dennis [9], pág. 83) e aplicado apenas a polinómios mónicos.
Assim, é apresentado o Método Newton Vetorial para Blocos Valores Próprios de nido para blocos
valores próprios da matriz companheira e posteriormente adaptado ao cálculo de blocos valores
próprios do feixe companheiro ou de um feixe genérico (A;B) = B A qualquer.
Por último generalizou-se esta formulação para o cálculo de feixes próprios,
( B A)V = W( Y X):
resultando no Método de Newton Vetorial para Feixes Próprios, de nido para um feixe genérico
(A;B) = B A.
Description
Keywords
Polinómio matricial Equações diferenciais matriciais Cálculo de solventes
Citation
Publisher
Universidade da Beira Interior