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Browsing Faculdade de Ciências by Field of Science and Technology (FOS) "Ciências Exatas::Matemáticas"
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- Abordagens ao Modelo de Lotka-VolterraPublication . Capoco, Calvino Paulo; Vaz, Sandra Cristina de PintoNesta dissertação, vamos considerar o modelo Lotka-Volterra. Este foi obtido na década 1920’s independentemente por Lotka e Volterra. O modelo é dado por um par de equações diferenciais não lineares de primeira ordem e considera a interação entre as duas populações. Existem três grandes tipos de interação: competição, cooperação e predador -presa. Neste trabalho, estudamos o modelo Lotka-Volterra com interação do tipo predador-presa. Para modelar a dinâmica entre as duas populações podemos adicionar termos ao modelo original de forma a torná-lo mais realista e sempre que possível estimar a sua estabilidade. No primeiro modelo a ser analisado, será introduzido um termo nas presas e será estudada sua estabilidade. Um dos termos a ser adicionado pode ser um controle, numa ou nas duas populações e pode ser visto como introdução ou remoção de elementos nas populações. No segundo e terceiro modelo, iremos introduzir um termo que deverá ser visto como um controle. Este será introduzido nos predadores e será do tipo ON-OFF. Em ambos os modelos iremos mostrar graficamente que os modelos aparentam convergir para um ponto numa zona específica. Todos serão modelados usando equações às diferenças mas para isso é necessário escolher um esquema numérico. Entre os mais comuns estão os métodos de Euler, Runge-Kutta e Mickens. Iremos usar o método de Mickens.
- Aplicação da Taxonomia SOLO na análise da qualidade da avaliaçãoPublication . Pereira, Verónica Carla de Almeida Santos; Matos, José Manuel Leonardo de; Silva, César Augusto Teixeira Marques daJEAN PIAGET defendia que “a capacidade cognitiva humana nasce e desenvolve-se, não vem pronta.” Temos hoje consciência de que o ser humano evolui em consequência da sua interação sensorial com o mundo, construindo a sua intrincada relação de ações condicionadas pela perceção do que o rodeia e pela sua capacidade de criar e relacionar com o que apreende. O conhecimento resulta, assim, de um processo de aprendizagem complexo, variável de indivíduo para indivíduo, mas que pode ser compreendido, sistematizado e definido. BIGGS e COLLIS, partindo dos pressupostos gerais enunciados por PIAGET, elaboraram uma teoria, denominada Taxonomia SOLO, que nos fornece parâmetros para analisar e classificar os conteúdos de um processo de aprendizagem, através da descrição dos processos envolvidos na dialética pergunta/resposta, numa escala de dificuldade ou complexidade. A dialética pergunta/resposta é, na sua génese, a ferramenta essencial de um momento determinante do processo de ensino – a Avaliação. O nosso trabalho assenta essencialmente numa análise do processo de Avaliação, tendo por base o conjunto de provas de avaliação da disciplina de matemática num contexto determinado e num período de tempo concretamente definido, através da análise e classificação de questões sobre os diversos conteúdos avaliados. A investigação incidiu sobre os exames nacionais de Matemática do 12º ano de escolaridade, em ambas as fases de exame, entre 2006 e 2014. Como metodologia, seguimos os pressupostos da Taxonomia SOLO propostos por BIGGS e COLLIS, no modelo de categorização desenvolvido e adaptado por MÁRIO CEIA, a partir do qual seguimos uma matriz de classificação das questões que entendemos ajustada ao objeto da análise e fiel aos pressupostos de base. O nosso trabalho fornece uma análise exaustiva de um momento do processo de ensino enquanto processo de validação da metodologia proposta. Conscientemente, não aborda outras perspetivas fundamentais para uma análise global da qualidade de ensino e que não cabem no âmbito desta tese. Ainda assim, pelos resultados obtidos, podemos enunciar algumas propostas conclusivas quanto às evidências que resultam do estudo e que desde já se antecipam – o ensino da matemática é generalizante, o grau de exigência é cada vez maior e as médias finais na avaliação da disciplina tendiam para mais negativas.
- Aplicação dos Números Complexos em GeometriaPublication . Zinga, Teresa da Conceição Mazissa; Pacheco, Rui Miguel Nobre MartinsOs números complexos são muito importantes em Matemática. Com muita frequência, eles têm tido uma abordagem puramente algébrica, deixando uma preocupação em como os mesmos podem ser aproveitados ou aplicados em outros contextos. Neste trabalho, procuramos explorar esta aplicação dos números complexos em geometria plana.
- Aproximação do Número de NeperPublication . Simão, Hermenegildo; Duque, José Carlos Matos; Almeida, Rui Manuel PiresO presente trabalho trata da aproximação do número de Neper. Começa-se por apresentar uma resenha histórica dos principais factos e protagonistas em torno deste número. De seguida, apresentam-se alguns métodos que permitem calcular a sua aproximação, com recurso a sucessões, séries e frações contínuas. Por fim, deduzem-se modelos matemáticos, envolvendo o número de Neper, que descrevem determinados fenómenos estudados em diferentes áreas da ciência. Espera-se que este trabalho proporcione aos alunos e professores informação importante que contribua para o melhoramento do processo de ensino e aprendizagem deste tópico no ensino secundário.
- Classificação Parcial das Superfícies Regradas Desenvolvíveis em R3Publication . Quiluanje, Domingos Esteves Manuel; Morais, Pedro Jorge Duarte Gil Tomé dos SantosNo conjunto de todas as superfíces, as superfícies regradas admitem parametrizações muito simples. Basta considerar uma curva e um campo vetorial ao longo dessa curva. A superfície é obtida movimentando as retas com a direcção dada pelo campo de vetores ao longo da curva. Todas as superfíces regradas têm curvatura não positiva e têm em geral, como estamos a considerar superfíces parametrizadas, pontos singulares. Os exemplos mais simples de superfícies regradas são o plano, o cilindro e o cone. Além destas, temos ainda o hiperbolóide de uma folha, o helicóide, o parabolóide hiperbólico e a faixa de Möbius. O objectivo deste trabalho é apresentar uma classificação parcial de uma subclasse das superfícies regradas, as superfícies regradas desenvolvíveis. Assim, depois da introdução, nos quatro capítulos seguintes estudamos algumas ferramentas que nos permitem atingir o objetivo preconizado, tais como: as curvas parametrizadas e o conceito de curvatura de uma curva, as noções elementares sobre superfícies, as formas fundamentais e a aplicação de Gauss que nos permite estudar a curvatura Gaussiana de uma superfíce parametrizada. No último capítulo, o principal, apresentamos alguns conceitos de superfícies regradas parametrizadas e um teorema de classificação parcial. Mostramos que as superfícies regradas têm curvatura de Gauss não positiva nos seus pontos regulares e, no caso de existirem pontos singulares na superfície, a curvatura Gaussiana é nula ao longo das geratrizes que intersectam estes pontos. Se a superfície regrada é desenvolvível a curvatura de Gauss é identicamente nula em todos os pontos regulares. Por fim, ressaltamos que o teorema apresentado permite-nos classificar "parcialmente"e não todas as superfícies desenvolvíveis. Por exemplo, se o conjunto dos zeros das funções envolvidas na superfície têm um ponto de acumulação, então a superfície regrada desenvolvível não está classificada pelo teorema estudado. No entanto, reafirmarmos que longe dos pontos de acumulação, uma superfície regrada desenvolvível é uma união de pedaços de cilindros, cones ou superfícies tangentes.
- Comportamento de somas e máximos de variáveis aleatórias reais independentesPublication . Campos, Isaac Felisberto Ferreira; Fernandes, Ana Paula André MartinsO Teorema do Limite Central garante que o único modelo estável para somas com variância finita é o modelo normal. Esta noção de estabilidade tornou mais fácil a modelação de fenômenos aditivos, uma vez que a acumulação de informação, sob a forma de mais parcelas, apenas nos faz mudar a localização e a escala, mas permanecemos no mesmo modelo. Contudo, a convergência de somas para uma normal dá-se quando nenhuma das parcelas tem um papel preponderante, ou seja, quando as caudas da distribuição subjacente tem um peso moderado, que é explicitado através da exigência da existência de segundo momento. Esta situação altera-se quando as estatísticas ordinais extremais têm algum protagonismo, o que acontece se o modelo distribucional de base tiver caudas pesadas. Neste trabalho investigamos o comportamento distribucional de somas e de estatísticas ordinais extremais, em particular do máximo. Obtemos a distribuição exata de algumas somas de variáveis aleatórias reais independentes e do máximos de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Analisamos o comportamento assintótico das estatísticas ordinais centrais, regido pelo Teorema do Limite Central, e das estatísticas ordinais extremais, nomeadamente do máximo, regido pelo Teorema Limite Extremal. Enquadramos alguns dos assuntos abordados, como a média amostral e as distribuições amostrais, no ensino, com a análise das dificuldades dos alunos nestes temas e a análise dos programas de Matemática do ensino secundário e de uma unidade curricular de um curso de formação de professores de Matemática em Angola.
- Construindo os conceitos de Continuidade e de LimitePublication . Santos, Ana Isabel Valongo dos; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaA Matemática é unanimemente reconhecida como uma das mais importantes ciências de base, atendendo à sua aplicação de forma transversal em quase todas as outras áreas do conhecimento. Por seu turno, a Didática é uma área do conhecimento científico que se desenvolveu na última metade do século XX, com o objetivo de estudar as diferentes etapas do processo de construção de conhecimento. Assim, a investigação em Didática da Matemática emerge como de capital relevo, especialmente a que está direcionada para as diversas etapas da construção de conceitos matemáticos. Conceitos mal compreendidos levam a que, mais tarde, os seus utilizadores revelem dificuldades de adaptação a novos conceitos e realidades, muitas vezes noutras ciências que utilizam a Matemática como pedra basilar. No caso concreto deste estudo, procurámos compreender como é que os alunos do primeiro ano de uma licenciatura com uma unidade curricular de Métodos Quantitativos no plano de curso constroem os conceitos de continuidade e de limite. Assim, pretendemos responder às seguintes questões de investigação: que ações epistémicas são possíveis identificar no decurso do processo de abstração dos alunos durante a construção dos conceitos de continuidade e de limite; e como se sequenciam e relacionam essas ações epistémicas? Com esse objetivo, começámos por trabalhar em aula a noção de continuidade e só posteriormente a de limite. Esta é uma sequência de ensino pouco habitual mas justificável, quer historicamente, quer atendendo a que não existe uma estrutura hierárquica entre estes conceitos. Mais ainda, os alunos revelam habitualmente mais dificuldade em compreender a noção de limite, pelo que definir continuidade à custa de limite representa um problema acrescido. Note-se que a investigadora não era a professora da turma, tendo assumido um papel de observadora ativa. Adotámos a teoria AiC (Hershkowitz, Schwarz e Dreyfus, 2001) e o consequente modelo teórico e metodológico RBC+Co (Recognizing – Ação-R; Building-with – Ação-B; Constructing – Ação-C; Consolidation – Consolidação). As ações epistémicas, ao serem ações do pensamento, tornam- -se visíveis através de ações externas produzidas pelos alunos permitindo, assim, estudar o desenvolvimento do processo de abstração e a construção do novo conhecimento matemático. Neste estudo considerámos subcategorias das ações epistémicas, de acordo quer com o que se entende ser cada ação epistémica, quer com o contexto, nomeadamente o matemático. Com as subcategorias pretendemos facilitar a identificação dessas ações epistémicas. Usámos uma metodologia de investigação qualitativa, inserida no paradigma interpretativo. A recolha dos dados foi efetuada no ano letivo de 2014/2015. Ao nível da implementação do estudo, este foi realizado ao longo das aulas. Os alunos procuraram responder a questões de dificuldade crescente sobre estas temáticas, sendo o seu progresso registado, quer através da recolha de produções escritas em papel, quer através do registo áudio e vídeo das aulas. Na análise dos dados recorremos ao software ATLAS.ti. As conclusões apresentadas indicam que a Ação-R e a Ação-B se encontram interligadas durante o processo de abstração dos alunos, onde a Interpretação do enunciado em conjunto com as Estruturas adquiridas por ela despoletadas fazem parte integrante das Estratégias formuladas, bem como da Aplicação de construções prévias. A combinação de todas estas subcategorias identificadas, quer na Ação-R, quer na Ação-B, é essencial na construção dos conceitos de continuidade e de limite posteriormente alcançados pelos alunos. Concluímos ainda que a Ação- -C se manifestou após o desenvolvimento simultâneo da Ação-R e da Ação-B, estando essa situação relacionada com a Interpretação dos enunciados e com as Estruturas adquiridas anteriormente, as quais permitiram que os alunos fossem formulando Estratégias e Aplicando construções prévias de modo a obterem Soluções intermédias. A Consolidação só se manifestou em algumas situações, mormente quando os alunos reconheceram similaridades entre a questão que se propunham trabalhar e questões previamente resolvidas, e quando consideraram que construções anteriores lhes poderiam ser úteis para alcançar a nova construção. A noção de Vizinhança assumiu-se como um bom contexto para a aprendizagem dos conceitos de continuidade e de limite. Foi um poderoso fio condutor da continuidade para os limites, facilitando claramente a construção dos conceitos lecionados. A alteração da sequência de ensino apresentou-se como prometedora. Finalmente, foram elencadas algumas recomendações, das quais destacamos a necessidade de estudar o papel do professor com o intuito de promover nos alunos a construção de novos conhecimentos matemáticos e o reflexo desta abordagem de construção dos conceitos de continuidade e de limite na construção posterior das noções de derivada e de integral.
- Uma Contribuição para o Ensino do Conceito de DerivadaPublication . Kanansevele, João; Simões, Alberto Manuel TavaresA motivação para a realização deste trabalho surge em primeiro lugar devido à grande importância que um conceito tão “simples”, como é o conceito de derivada, desempenha em grande parte nos fundamentos de todas as ciências exatas. Sem este conceito estamos certos que a ciência não seria como a vemos hoje. E na verdade, estamos certos ainda que seria impossível construir grande parte das teorias que conhecemos sem a introdução deste singelo conceito. Fizemos assim uma recolha em inúmeros livros de forma a podermos reunir, num só manual, os conteúdos que nos parecem serem os mais importantes e adequados para uma introdução no ensino/aprendizagem do conceito. Apresentamos detalhadamente a forma como o conceito surgiu, a definição, os teoremas e as fórmulas de derivação assim como as várias utilizações que podem ser feitas no estudo das funções. Analisámos ainda alguns manuais usados actualmente e no passado, no ensino secundário, para perceber se a forma como o conceito é introduzido sofreu alterações ao longo dos anos e se está a ser feito de forma adequada. Com este trabalho, pretendeu-se escrever um texto de apoio útil que permitisse aos utilizadores (alunos e professores) assimilarem os conteúdos relacionados com o conceito de derivada nos diferentes níveis de ensino onde ele é ensinado.
- Derivadas de DiniPublication . Zage, Esmael António; Correia, Nuno Miguel FerreiraNeste trabalho lançámos o desafio de estudar derivadas de Dini, o porquê do seu aparecimento e algumas aplicações. Para abordarmos este assunto de uma forma coerente foi necessário traçar um caminho no qual tivemos de recordar alguns conceitos lecionados no Ensino Secundário, como por exemplo: sucessões e subsucessões, limite, função contínua, função diferenciável, monotonia e extremos de uma função; assim como os resultados relacionados. Mas foi também necessário introduzir assuntos que vão além do Ensino Secundário, como limite superior e limite inferior, funções semicontínuas. Para aplicar as derivadas de Dini recordamos os Teoremas de Rolle e de Lagrange, para os quais apresentamos uma generalização envolvendo as derivadas de Dini. Tal como em qualquer curso de Cálculo, depois do cálculo diferencial surge a integração, pois isso no Capítulo final consta os conhecidos integrais de Riemann e Lebesgue e a construção do integral de Henstock-Kurzweil.
- Ensino da Geometria Analítica no contexto cultural do Cuito-BiéPublication . Cassela, Ezequias Adolfo Domingas; Bento, Sandra Margarida Pinho da CruzEste estudo qualitativo explorou o potencial das atividades de base cultural no ensino e aprendizagem do tópico 1.4.1 do Programa de Geometria Analítica II do primeiro ano de Matemática da Escola Superior Pedagógica do Bié, referente às curvas cónicas. Foram seguidas duas abordagens: a Etnomatemática e a Educação Matemática Realística (EMR). O contexto sócio-cultural do estudo foi o município do Cuito, na Província do Bié em Angola, mais especificamente, o contexto educativo da Escola superior Pedagógica do Bié. Objetivou-se em extrair ideias matemáticas de atividades culturais em algumas aldeias tradicionais do município do Cuito, para auferir uma proposta pedagógica de intervenção na cadeira de Geometria Analítica. Este estudo tem o seu enquadramento teórico na concepção histórico-cultural de Vigostsky com base às potencialidades que brindam as duas abordagens escolhidas. A investigação foi encaminhada para dar resposta a seguinte questão: Qual é o potencial das ideias geométricas associadas com as atividades culturais do município do Cuito no ensino da Geometria Analítica?