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Authors
Abstract(s)
Neste trabalho pretende-se fazer um estudo sobre a aplicação do método dos elementos
nitos a diversos problemas de reação-difusão com fronteiras livres. Para se obter estimativas
do erro e simulações representativas é necessário obter alguns resultados teóricos sobre regularidade
e algumas propriedades físicas das soluções. Neste sentido, o outro objetivo deste
trabalho é o estabelecimento de resultados teóricos relativos a problemas em aberto.
O primeiro problema a ser estudado é a equação parabólica seguinte:
ut = div(juj
(x;t)ru) + f(x; t); x 2
Rd; t 2]0; T]:
Como o problema pode ser degenerado, utiliza-se um problema aproximado, regularizado atrav
és da introdução de um parâmetro ". Demonstra-se, sob algumas condições em
e f que
a solução fraca do problema aproximado converge para a solução fraca do problema inicial,
quando o parâmetro " tende para zero. São calculadas soluções discretas utilizando o método
dos elementos nitos contínuo no espaço e descontínuo no tempo e é provada a convergência
destas soluções para a solução fraca do problema inicial.
Estuda-se também a aplicação do método da malha móvel a esta equação considerando-a
num domínio livre em R2. É desenvolvido um conjunto de subrotinas em Matlab que permitem
calcular e representar gra camente soluções aproximadas de vários problemas de reacção-difus
ão com fronteiras livres. A discretização espacial é de nida por uma partição do domínio em
triângulos. Em cada elemento nito, a solução é aproximada por uma função seccionalmente
polinomial de grau r 1 utilizando polinómios interpoladores de Lagrange em coordenadas de
área. Os vértices dos triângulos podem mover-se segundo um sistema de equações diferenciais
parciais que é adicionado ao problema. Posteriormente, deduz-se uma equação para mover os
vértices da fronteira. O sistema resultante é convertido num sistema de equações diferenciais
ordinárias no tempo, que é resolvido utilizando um integrador apropriado. Os integrais que
surgem são calculados utilizando a quadratura de Gauss. Finalmente, são apresentados alguns
resultados de aplicação.
O outro problema estudado é o sistema não linear da forma
(
ut = a1(l1(u); l2(v)) u + 1jujp2u + f1(x; t)
vt = a2(l1(u); l2(v)) v + 2jvjp2v + f2(x; t)
; x 2
Rd; t 2]0; T];
onde a1 e a2 são funções positivas e Lipschitz-contínuas, l1 e l2 são formas lineares contínuas,
1; 2 0 e p 2. Prova-se a existência e unicidade de soluções fortes, assim como, algumas
propriedades de localização, nomeadamente a existência de tempo de espera e a localização
estável. Demonstra-se, impondo algumas condições em p e fi, que as soluções deste sistema
podem decair de forma exponencial ou polinomial ou até extinguirem-se em tempo nito. O
sistema é discretizado utilizando o método dos elementos nitos de Galerkin no espaço e um
método de Euler linearizado no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém-
-se a ordem de convergência em função dos parâmetros da discretização. No nal, o método é
implementado em ambiente Matlab e são apresentados alguns resultados numéricos.
The aim of this work is to study the application of the nite element method to various reaction-diffusion problems with free boundaries. To obtain error estimates and representative simulations, it is necessary to obtain some theoretical results on regularity and some physical properties of the solutions. In this sense, the other goal of this work is to establish theoretical results concerning open problems. The rst problem to be studied is the following parabolic equation: ut = div(juj (x;t)ru) + f(x; t); x 2 Rd; t 2]0; T]: Since the problem may be of degenerate type, an approximate problem is used, regularized by introducing a parameter ". It is proved, under certain conditions on and f, that the weak solution of the approximate problem converges to the weak solution of the initial problem, when the parameter " tends to zero. Discrete solutions are built using the continuous in space and discontinuous in time nite element method, and the convergence of these to the weak solution of the initial problem is proved. The application of the moving mesh method to this problem, considering it a free boundary problem is also studied. A set of subroutines in Matlab, that can calculate and graphically represent approximate solutions of various reaction-diffusion problems with free boundaries, is developed. The spatial discretization is de ned by a triangulation of the domain. In each nite element, the solution is approximated by a piecewise polynomial function of degree r 1, using Lagrange interpolating polynomials in area coordinates. The vertices of the triangles move according to a system of differential equations which is added to the equations of the problem. The resulting system is converted into a system of ordinary differential equations in time variable, which is solved using a suitable integrator. The integrals that arise in the system of ordinary differential equations are calculated using the Gaussian quadrature. Finally, some numerical results of application are presented. The other problem to be studied is the nonlinear nonlocal reaction-diffusion coupled system ( ut = a1(l1(u); l2(v)) u + 1jujp2u + f1(x; t) vt = a2(l1(u); l2(v)) v + 2jvjp2v + f2(x; t) ; x 2 Rd; t 2]0; T]; where a1 and a2 are Lipschitz-continuous positive functions, l1 and l2 are continuous linear forms, 1; 2 0 and p 2. The existence and uniqueness of weak and strong solutions to these systems and localization properties of the solutions, including the waiting time effect and stable localization, are proved. Moreover, important results on polynomial and exponential decay and the vanishing of the solutions in nite time, are also presented. The convergence of a linearized Euler-Galerkin nite element method is proved, and the optimal order of convergence is obtained. Finally, the presented method is implemented and simulated in Matlab environment.
The aim of this work is to study the application of the nite element method to various reaction-diffusion problems with free boundaries. To obtain error estimates and representative simulations, it is necessary to obtain some theoretical results on regularity and some physical properties of the solutions. In this sense, the other goal of this work is to establish theoretical results concerning open problems. The rst problem to be studied is the following parabolic equation: ut = div(juj (x;t)ru) + f(x; t); x 2 Rd; t 2]0; T]: Since the problem may be of degenerate type, an approximate problem is used, regularized by introducing a parameter ". It is proved, under certain conditions on and f, that the weak solution of the approximate problem converges to the weak solution of the initial problem, when the parameter " tends to zero. Discrete solutions are built using the continuous in space and discontinuous in time nite element method, and the convergence of these to the weak solution of the initial problem is proved. The application of the moving mesh method to this problem, considering it a free boundary problem is also studied. A set of subroutines in Matlab, that can calculate and graphically represent approximate solutions of various reaction-diffusion problems with free boundaries, is developed. The spatial discretization is de ned by a triangulation of the domain. In each nite element, the solution is approximated by a piecewise polynomial function of degree r 1, using Lagrange interpolating polynomials in area coordinates. The vertices of the triangles move according to a system of differential equations which is added to the equations of the problem. The resulting system is converted into a system of ordinary differential equations in time variable, which is solved using a suitable integrator. The integrals that arise in the system of ordinary differential equations are calculated using the Gaussian quadrature. Finally, some numerical results of application are presented. The other problem to be studied is the nonlinear nonlocal reaction-diffusion coupled system ( ut = a1(l1(u); l2(v)) u + 1jujp2u + f1(x; t) vt = a2(l1(u); l2(v)) v + 2jvjp2v + f2(x; t) ; x 2 Rd; t 2]0; T]; where a1 and a2 are Lipschitz-continuous positive functions, l1 and l2 are continuous linear forms, 1; 2 0 and p 2. The existence and uniqueness of weak and strong solutions to these systems and localization properties of the solutions, including the waiting time effect and stable localization, are proved. Moreover, important results on polynomial and exponential decay and the vanishing of the solutions in nite time, are also presented. The convergence of a linearized Euler-Galerkin nite element method is proved, and the optimal order of convergence is obtained. Finally, the presented method is implemented and simulated in Matlab environment.
Description
Keywords
Método dos elementos finitos Equações diferenciais Equação de meios porosos Equações diferenciais ordinárias - Comportamento assimptótico