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- On the finite element method for a nonlocal degenerate parabolic problemPublication . Almeida, Rui M.P.; Antontsev, Stanislav N.; Duque, José C. M.The aim of this paper is the numerical study of a class of nonlinear nonlocal degenerate parabolic equations. The convergence and error bounds of the solutions are proved for a linearized Crank–Nicolson–Galerkin finite element method with polynomial approximations of degree k≥1. Some explicit solutions are obtained and used to test the implementation of the method in Matlab environment.
- The Crank–Nicolson–Galerkin Finite Element Method for a Nonlocal Parabolic Equation with Moving BoundariesPublication . Almeida, Rui M.P.; Duque, José C. M.; Ferreira, Jorge; Robalo, Rui J.The aim of this article is to establish the convergence and error bounds for the fully discrete solutions of a class of nonlinear equations of reaction–diffusion nonlocal type with moving boundaries, using a linearized Crank–Nicolson–Galerkin finite element method with polynomial approximations of any degree. A coordinate transformation which fixes the boundaries is used. Some numerical tests to compare our Matlab code with some existing moving finite element methods are investigated.
- Método dos elementos finitos para problemas com fronteiras livresPublication . Duque, José Carlos Matos; Antontsev, Stanislav Nikolaevich; Almeida, Rui Manuel PiresNeste trabalho pretende-se fazer um estudo sobre a aplicação do método dos elementos nitos a diversos problemas de reação-difusão com fronteiras livres. Para se obter estimativas do erro e simulações representativas é necessário obter alguns resultados teóricos sobre regularidade e algumas propriedades físicas das soluções. Neste sentido, o outro objetivo deste trabalho é o estabelecimento de resultados teóricos relativos a problemas em aberto. O primeiro problema a ser estudado é a equação parabólica seguinte: ut = div(juj (x;t)ru) + f(x; t); x 2 Rd; t 2]0; T]: Como o problema pode ser degenerado, utiliza-se um problema aproximado, regularizado atrav és da introdução de um parâmetro ". Demonstra-se, sob algumas condições em e f que a solução fraca do problema aproximado converge para a solução fraca do problema inicial, quando o parâmetro " tende para zero. São calculadas soluções discretas utilizando o método dos elementos nitos contínuo no espaço e descontínuo no tempo e é provada a convergência destas soluções para a solução fraca do problema inicial. Estuda-se também a aplicação do método da malha móvel a esta equação considerando-a num domínio livre em R2. É desenvolvido um conjunto de subrotinas em Matlab que permitem calcular e representar gra camente soluções aproximadas de vários problemas de reacção-difus ão com fronteiras livres. A discretização espacial é de nida por uma partição do domínio em triângulos. Em cada elemento nito, a solução é aproximada por uma função seccionalmente polinomial de grau r 1 utilizando polinómios interpoladores de Lagrange em coordenadas de área. Os vértices dos triângulos podem mover-se segundo um sistema de equações diferenciais parciais que é adicionado ao problema. Posteriormente, deduz-se uma equação para mover os vértices da fronteira. O sistema resultante é convertido num sistema de equações diferenciais ordinárias no tempo, que é resolvido utilizando um integrador apropriado. Os integrais que surgem são calculados utilizando a quadratura de Gauss. Finalmente, são apresentados alguns resultados de aplicação. O outro problema estudado é o sistema não linear da forma ( ut = a1(l1(u); l2(v)) u + 1jujp2u + f1(x; t) vt = a2(l1(u); l2(v)) v + 2jvjp2v + f2(x; t) ; x 2 Rd; t 2]0; T]; onde a1 e a2 são funções positivas e Lipschitz-contínuas, l1 e l2 são formas lineares contínuas, 1; 2 0 e p 2. Prova-se a existência e unicidade de soluções fortes, assim como, algumas propriedades de localização, nomeadamente a existência de tempo de espera e a localização estável. Demonstra-se, impondo algumas condições em p e fi, que as soluções deste sistema podem decair de forma exponencial ou polinomial ou até extinguirem-se em tempo nito. O sistema é discretizado utilizando o método dos elementos nitos de Galerkin no espaço e um método de Euler linearizado no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém- -se a ordem de convergência em função dos parâmetros da discretização. No nal, o método é implementado em ambiente Matlab e são apresentados alguns resultados numéricos.
- On a nonlocal degenerate parabolic problemPublication . Almeida, Rui M.P.; Antontsev, Stanislav N.; Duque, José C. M.Conditions for the existence and uniqueness of weak solutions for a class of nonlinear nonlocal degenerate parabolic equations are established. The asymptotic behaviour of the solutions as time tends to infinity are also studied. In particular, the finite time extinction and polynomial decay properties are proved.
- Discrete solutions for the porous medium equation with absorption and variable exponentsPublication . Almeida, Rui M.P.; Antontsev, Stanislav N.; Duque, José C. M.In this work, we study the convergence of the finite element method when applied to the following parabolic equation: Since the equation may be of degenerate type, we use an approximate problem, regularized by introducing a parameter ε. We prove, under certain conditions on γ, σ and f, that the weak solution of the approximate problem converges to the weak solution of the initial problem, when the parameter ε tends to zero. The convergence of the discrete solutions for the weak solution of the approximate problem is also proved. Finally, we present some numerical results of a MatLab implementation of the method.
- Convergence of the Crank-Nicolson-Galerkin finite element method for a class of nonlocal parabolic systems with moving boundariesPublication . Almeida, Rui M.P.; Duque, José C. M.; Ferreira, Jorge; Robalo, Rui J.The aim of this paper is to establish the convergence and error bounds to the fully discrete solution for a class of nonlinear systems of reaction-diffusion nonlocal type with moving boundaries, using a linearized Crank-Nicolson-Galerkin finite element method with polynomial approximations of any degree. A coordinate transformation which fixes the boundaries is used. Some numerical tests to compare our Matlab code with some existing moving finite elements methods are investigated.
- On the packing process in a shoe manufacturerPublication . Vieira, Manuel V. C.; Ferreira, Flora; Duque, José C. M.; Almeida, Rui M.P.This paper addresses a shoe packing problem that is motivated by an industry applicationand involves two main stages: (i) packing shoes into suitable boxes and (ii) loading thepacked shoes into three dimensional open-dimension containers. This is the first study deal-ing with the packing of small boxes into several containers where each container has allthree dimensions open. Assigning shoes to a minimum number of box types is achievedusing a 0–1 program, whereas the loading problem is tackled via a mixed-integer nonlinearprogram that minimizes the total volume of the container. That latter model is linearized byusing a simple summation of the container dimensions, which is compared against a moreelaborated linearization scheme. The effectiveness and efficiency of the proposed schemeare demonstrated with numerical experiments using real-world instances.
- Finite element schemes for a class of nonlocal parabolic systems with moving boundariesPublication . Almeida, Rui M.P.; Duque, José C. M.; Ferreira, Jorge; Robalo, RuiThe aim of this paper is to study the convergence, properties and error bounds of the discrete solutions of a class of nonlinear systems of reaction–diffusion nonlocal type with moving boundaries, using the finite element method with polynomial approximations of any degree and some classical time integrators. A coordinate transformation which fixes the boundaries is used. Some numerical tests to compare our Matlab code with a moving finite element method are investigated.