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Authors
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Abstract(s)
Following the seminal result by Eugenio Calabi establishing the local classification
of complex submanifolds with constant holomorphic sectional curvature in complex
space forms, several researchers have investigated minimal immersions with constant
curvature of Riemann surfaces into symmetric spaces. For isometric immersions, recall
that minimality is equivalent to harmonicity, hence the rich theory of harmonic maps
has played here an important role.
There exists a well-established theory on twistorial constructions of harmonic maps
from Riemann surfaces into symmetric spaces. An important class of twistor lifts is
that of primitive maps into k-symmetric spaces. In this thesis, we investigate primitive
immersions of constant curvature from Riemann surfaces into flag manifolds equipped
with invariant metrics and their canonical structure of k-symmetric spaces. First we
consider the case of primitive lifts associated to pseudoholomorphic maps from surfaces
into complex Grassmannians. We establish that any such primitive lift from the twosphere
S2 into a flag manifold has constant curvature with respect to all invariant
metrics, provided that it has constant curvature with respect to at least one such
invariant metric. This lead us to conclude as a corollary that any primitive immersion
of constant curvature from S2 into the full flag manifold is unitarily equivalent to the
primitive lift of a Veronese map. We prove a partial generalization of this result to the
case where the domain is a general simply connected Riemann surface. On the way,
we consider the problem of finding the invariant metric on the flag manifold, under a
certain normalization condition, that maximizes the induced area of the two-sphere by
a given primitive immersion. Finally, we explicitly classify all the primitive immersions
of constant curvature from S2 into certain low dimensional flag manifolds, namely F2,1,1
and F2,2,1.
Eugenio Calabi estabeleceu, na década de 50 do século passado, a classificação local de subvariedades complexas com curvatura seccional holomorfa constante em espaços forma complexos. Na esteira deste resultado seminal, vários matemáticos têm investigado Imersões mínimas com curvatura constante de superfícies de Riemann em espaços simétricos. Para imersões isométricas, recorde-se que minimalidade é equivalente a harmonicidade; deste modo, a teoria das aplicações harmónicas tem desempenhado aqui um papel fundamental. Existe uma teoria muito desenvolvida sobre construções twistoriais de aplicações harmónicas de superfícies de Riemann em espaços simétricos. Uma classe importante de levantamentos twistor é aquela formada pelas aplicações primitivas sobre espaços k-simétricos. Nesta tese, investigamos imersões primitivas de curvatura constante de superfícies de Riemann numa variedade bandeira equipada com métricas invariantes e a sua estrutura canónica de espaço k-simétrico. Em primeiro lugar, consideramos o caso de aplicações primitivas associadas a aplicações pseudoholomorfas de superfícies de Riemann em variedades Grassmannianas complexas. Provamos que qualquer imersão primitiva da superfície esférica S2 sobre uma variedade bandeira tem curvatura constante em relação a todas as métricas invariantes, desde que tenha curvatura constante em relação a pelo menos uma dessas métricas invariantes. Como corolário, concluímos que qualquer imersão primitiva de curvatura constante de S2 na variedade bandeira completa é unitariamente equivalente ao levantamento primitivo de uma aplicação de Veronese. Provamos uma generalização parcial desse resultado para o caso em que o domínio é uma superfície de Riemann simplesmente conexa, não necessariamente fechada. De seguida, consideramos o problema de encontrar a métrica invariante na variedade bandeira, sob uma certa condição de normalização, que maximiza a área induzida em S2 por uma dada imersão primitiva. Finalmente, classificamos explicitamente todas as imersões primitivas de curvatura constante de S2 em variedades bandeira de baixa dimensão, a saber, F2,1,1 e F2,2,l .
Eugenio Calabi estabeleceu, na década de 50 do século passado, a classificação local de subvariedades complexas com curvatura seccional holomorfa constante em espaços forma complexos. Na esteira deste resultado seminal, vários matemáticos têm investigado Imersões mínimas com curvatura constante de superfícies de Riemann em espaços simétricos. Para imersões isométricas, recorde-se que minimalidade é equivalente a harmonicidade; deste modo, a teoria das aplicações harmónicas tem desempenhado aqui um papel fundamental. Existe uma teoria muito desenvolvida sobre construções twistoriais de aplicações harmónicas de superfícies de Riemann em espaços simétricos. Uma classe importante de levantamentos twistor é aquela formada pelas aplicações primitivas sobre espaços k-simétricos. Nesta tese, investigamos imersões primitivas de curvatura constante de superfícies de Riemann numa variedade bandeira equipada com métricas invariantes e a sua estrutura canónica de espaço k-simétrico. Em primeiro lugar, consideramos o caso de aplicações primitivas associadas a aplicações pseudoholomorfas de superfícies de Riemann em variedades Grassmannianas complexas. Provamos que qualquer imersão primitiva da superfície esférica S2 sobre uma variedade bandeira tem curvatura constante em relação a todas as métricas invariantes, desde que tenha curvatura constante em relação a pelo menos uma dessas métricas invariantes. Como corolário, concluímos que qualquer imersão primitiva de curvatura constante de S2 na variedade bandeira completa é unitariamente equivalente ao levantamento primitivo de uma aplicação de Veronese. Provamos uma generalização parcial desse resultado para o caso em que o domínio é uma superfície de Riemann simplesmente conexa, não necessariamente fechada. De seguida, consideramos o problema de encontrar a métrica invariante na variedade bandeira, sob uma certa condição de normalização, que maximiza a área induzida em S2 por uma dada imersão primitiva. Finalmente, classificamos explicitamente todas as imersões primitivas de curvatura constante de S2 em variedades bandeira de baixa dimensão, a saber, F2,1,1 e F2,2,l .
Description
Keywords
Imersão Primitiva Aplicação Harmónica Superfície De Riemann Espaço Simétrico Variedade Bandeira Sequência de Veronese Variedade de Grassmannian Curvatura Constante Primitive Immersion Harmonic Map Riemann Surface Flag Manifold Veronese Sequence Grassmannian Manifold Constant Curvature Two-Sphere.