Departamento de Matemática
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Browsing Departamento de Matemática by Field of Science and Technology (FOS) "Ciências Naturais::Matemáticas"
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- Análise de variância com amostras de dimensão aleatória e suas aplicaçõesPublication . Andrade, Gilberto Capistrano Cunha de; Nunes, Célia Maria Pinto; Ferreira, Dário Jorge da ConceiçãoA Análise de variância (ANOVA) é utilizada em muitas áreas de investigação, nomeadamente em investigação médica, agricultura ou psicologia, para citar apenas algumas, onde as dimensões das amostras podem não ser previamente conhecidas. Esta situação ocorre com frequência quando o intervalo de tempo para a recolha das observações é fixado à partida. Um bom exemplo corresponde à recolha de observações para um estudo onde se pretende comparar várias patologias de pacientes que chegam às urgências de um hospital num determinado período de tempo. Neste trabalho iremos estender a ANOVA, com um e mais fatores, ao caso em que as dimensões das amostras são desconhecidas, devendo ser tratadas como realizações de variáveis aleatórias. Esta abordagem deve ser baseada na escolha adequada da distribuição destas variáveis. No presente trabalho são consideradas duas situações distintas: No primeiro caso assumiremos que as variáveis aleatórias seguem distribuições de Poisson, situação em que a ocorrência das observações corresponde a processos de contagem e não existem limites superiores para as dimensões das amostras (tal como ilustrado no exemplo anterior, referente à comparação de patologias); No segundo caso, consideraremos a distribuição Binomial, quando existe um limite superior para as dimensões das amostras, que nem sempre é atingido uma vez que podem ocorrer falhas nas observações. Como resultados, serão obtidas as estatísticas de teste e suas distribuições, condicional e não condicional assumindo as dimensões das amostras como aleatórias, para modelos de efeitos fixos, modelos de efeitos aleatórios e modelos mistos. Adicionalmente, serão apresentadas várias aplicações com registos do cancro no Brasil que nos permitirão ilustrar a utilidade da nossa abordagem assim como comparar os resultados obtidos com os da ANOVA usual.
- A construção do conhecimento no desenvolvimento do pensamento algébricoPublication . Pimenta, Corália Maria Santos; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaO presente estudo centra-se na análise do processo de abstração, identificado em alunos com nove e dez anos de idade, quando constroem um novo conhecimento matemático que decorre do incentivo ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Realizou-se no contexto de sala de aula de matemática, onde a investigadora era a professora da turma. Através da investigação efetuada procurou-se analisar, descrever e refletir sobre os raciocínios desenvolvidos pelos alunos, compreender melhor a influência do contexto, em particular da mediação estabelecida pela professora e verificada entre alunos, no desenvolvimento do processo de abstração e, consequentemente, na construção do novo conhecimento matemático. Procuraram-se identificar dificuldades manifestadas durante a resolução das tarefas e exposição de raciocínios, bem como reconhecer características que contribuam para o desenvolvimento algébrico. Procurou-se, ainda, dar resposta às seguintes questões de investigação: (1) Na construção do novo conhecimento matemático, que ações epistémicas se podem identificar durante o processo de abstração quando os alunos desenvolvem a compreensão dos dados enunciados, identificam regularidades e relações, mobilizam conhecimentos e ideias, generalizam ou estendem procedimentos aritméticos a valores desconhecidos e resolvem problemas de natureza algébrica? Como se sequenciam e relacionam essas ações epistémicas? (2) Como se manifesta o processo de mediação, estabelecido pela professora e promovido entre alunos, na construção do novo conhecimento e, em particular, no desenvolvimento das ações epistémicas? Face ao interesse em colmatar as dificuldades evidenciadas pelos alunos durante a aprendizagem da álgebra, procurou estimular-se o pensamento algébrico, aplicando orientações da proposta curricular Early algebra. Para tal, selecionaram-se as tarefas exploratórias, através das quais se procurou promover a observação de regularidades, relações e propriedades numéricas, a interpretação e utilização de linguagem simbólica, a resolução de problemas de natureza algébrica e a generalização e extensão de procedimentos aritméticos a algébricos. Relativamente à construção do novo conhecimento matemático, valorizou-se o processo de abstração que ocorre mediante a reorganização vertical de construções matemáticas adquiridas, que ascende do abstrato ao concreto e que dá expressão ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Adotou-se o modelo teórico AiC, Abstract in Context, que defende a ideia da matematização vertical e da interligação de ações epistémicas no desenvolvimento do processo de abstração e na construção do novo conhecimento matemático, bem como o modelo teórico e metodológico RBC+C (Dreyfus, T., Hershkowitz, R., & Schwarz, B. B., 2001) que permite compreender, através do desenvolvimento das ações epistémicas Reconhecer, Construir, Construção e Consolidação, como ocorre a nova construção. No contexto deste trabalho, a mediação estabelecida pela professora e verificada entre alunos é relevante para a aquisição do novo conhecimento matemático, realçando-se, da parte da professora o incentivo à utilização de artefactos e, em particular, à exploração da tarefa e representações tabelar e pictóricas que ela possa contemplar ou que sejam desenvolvidas pelos alunos. No sentido da mediação, destaca-se o ciclo didático (Bussi & Marotti, 2008) através do qual se procurou compreender o alcance da atuação da professora no desenvolvimento das ações epistémicas supracitadas e, consequentemente, na construção do novo conhecimento matemático. Relativamente à metodologia aplicada, seguiu-se uma abordagem qualitativa, inserida no paradigma interpretativo. A recolha dos dados foi efetuada durante o ano letivo de 2013/2014. As conclusões apresentadas dão indicação de que o processo de abstração inicia-se com o desenvolvimento da ação epistémica Reconhecer e que esta ação, bem como Construir, são essenciais à nova construção. Realçam, ainda, que os conhecimentos dos alunos, a forma como representam dados e ideias, a criatividade e a mediação, estabelecida entre eles e com a professora, favorecem a construção do novo conhecimento matemático. Indicam, também, que as ações epistémicas manifestaram-se e relacionaram-se entre si, que para promover o desenvolvimento do pensamento algébrico, a Construção deverá contemplar situações em que se estimula o pensamento analítico, a generalização, a extensão de procedimentos ariméticos a algébricos, a utilização de simbologia e a resolução de problemas de natureza algébrica. A manifestação da Consolidação, durante a Construção do novo conhecimento matemático valoriza as orientações dadas pela proposta curricular Early algebra, evidenciando as vantagens de estimular o pensamento algébrico desde os primeiros anos do ensino básico. Para finalizar o estudo, a investigadora teceu algumas recomendações, entre as quais se destacam: a elaboração de uma proposta pedagógica que dê indicações precisas sobre o tipo de trabalho que se deve desenvolver para estimular o pensamento algébrico dos alunos; a necessidade de se fundamentar melhor o papel das tarefas, da resolução de problemas de natureza algébrica e das representações no desenvolvimento do pensamento algébrico e a aplicação do modelo RBC+C (Dreyfus et al., 2001) para analisar o desenvolvimento do pensamento geométrico, estatístico, entre outros, que possam contribuir para melhorar a aprendizagem matemática dos alunos.
- Dynamics of non-autonomous SEIRS models with general incidencePublication . Mateus, Joaquim Manuel Pereira; Silva, César Augusto Teixeira Marques daWe consider SEIRS models with general incidence functions depending on the susceptibles, the infectives and the total population, and we analyze this models in several scenarios: autonomous, general non-autonomous and periodic. In all this settings, we discuss the strong persistence and the extinction of the disease. Additionally, we address the following problems: in the autonomous setting, we obtain results on the existence and global stability of disease-free and endemic equilibriums; in the periodic setting, we obtain the global stability of disease-free periodic solution when the basic reproductive number is less than one, and, using the wellknown Mawhin continuation theorem, we discuss the existence of endemic periodic solutions; in the general non-autonomous setting, we prove that our conditions for strong persistence and extinction are robust, in the sense that they are unchanged by su ciently small perturbations of the parameters and the incidence functions. Finally, we consider a version of our model with two control variables, vaccination and treatment, and study the existence and uniqueness of solution of the optimal control model considered. Some computational experiences illustrate our results.
- Ensino baseado em resolução de problemas com recurso à folha de cálculoPublication . Cumbo, Óscar Mavungo; Carreira, Susana Paula Graça; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaO presente estudo tem como foco central os resultados da implementação de uma sequência didática para o ensino-aprendizagem de Sucessões Numéricas, numa disciplina de Análise Matemática do 1º ano de uma licenciatura em Engenharia do Ambiente. As questões de investigação incluem: a aquisição de diretrizes para a elaboração e implementação de uma sequência didática baseada na resolução de problemas contextualizados e no recurso à folha de cálculo; a compreensão sobre o modo como os alunos fazem uso de diferentes registos de representação semiótica; e a caraterização dos processos de construção de modelos conceptuais pelos alunos. Para tal, são analisados os tipos de registos de representação semiótica que os alunos produzem, a natureza dos modelos que os alunos criam quando se envolvem em atividades propulsoras de modelos, inerentes ao tópico de Sucessões Numéricas, e a utilidade que a folha de cálculo revela ter nestas circunstâncias. Para o enquadramento teórico do estudo foram consideradas as contribuições de diversas linhas de investigação, designadamente em torno da resolução de problemas e da didática das situações de aprendizagem que sublinham o papel do aluno e do contexto educacional na sua aprendizagem. Assim, o estudo apoia-se em princípios essenciais propostos pela Teoria das Situações Didáticas para sustentar as opções didáticas e metodológicas assumidas. A natureza das questões de investigação, por seu turno, justificou a procura de articulações entre duas teorias chave, designadamente a Teoria de Registos de Representação Semiótica (TRSS) e a Perspetiva de Modelos e Modelação (M&M) O estudo seguiu uma metodologia interpretativa, baseada em estudos de caso, e foi delineado segundo os pressupostos da Engenharia Didática enquanto modalidade de investigação de índole qualitativa, integrando uma vertente de experiência de ensino. Os participantes são os alunos do 1.º ano do curso de licenciatura em Engenharia do Ambiente ministrado na Escola Superior Politécnica do Namibe (ESPtN). Entre estes, foram selecionados três alunos que permitiram a realização de três estudos de caso. O autor do presente estudo assumiu o papel de professor-investigador, sendo assim o docente que lecionou as aulas da sequência didática implementada. A recolha de dados incluiu a observação participante, em sala de aula, dos alunos no decurso da realização das tarefas propostas, os seus relatórios escritos, o registo vídeo e áudio das falas, argumentações e comentários proferidos pelos três alunos-casos durante a resolução de problemas e ainda os resultados de inquéritos aplicados a todos os alunos do primeiro ano do referido curso e aos professores de matemática da escola supracitada. Com este estudo, foi possível concluir que a realização de atividades propulsoras de modelos inerentes ao tópico de Sucessões Numéricas, com recurso à folha de cálculo, fornece oportunidades para os alunos alcançarem aprendizagens específicas, inerentes a conceitos matemáticos, mas também aprendizagens de caráter mais abrangente, como seja, a sua capacidade de interpretar uma situação e de a matematizar, mobilizando os seus conhecimentos anteriores ou prosseguindo para novos conhecimentos. Os resultados evidenciaram a possibilidade de um paralelismo entre os ciclos de modelação efetuados pelos alunos e as sucessivas conversões de registos semióticos, o que confirma que a experiência do ensino proporcionou a aprendizagem dos alunos, na ótica das duas perspetivas teóricas. Por fim, importa referir que o estudo revelou que a folha de cálculo subsidiou, de forma relevante, a concretização de tratamentos de registos numéricos, bem como múltiplas conversões de registos.
- Evolutas e Curvas do Tipo LuzPublication . Nolasco, Boaventura Beleza dos Santos; Pacheco, Rui Miguel Nobre MartinsFazendo uso da projeção isotrópica para a geometria de Laguerre, estabelecemos uma correspondência entre curvas do tipo luz no espaço tridimensional de Minkowski e curvas no plano euclidiano. Descrevemos a geometria das curvas do tipo luz (triedro de Frenet-Serret, pseudo-comprimento de arco, pseudo-torção, pares de curvas associadas) em termos da curvatura das curvas planas correspondentes. Isto irá conduzir-nos a uma caracterização original de todas as curvas planas que são Laguerre-congruentes com uma curva dada.
- Uma Introdução à Filosofia da MatemáticaPublication . Castro, Eduardo Jorge de SousaEste livro é um manual para um primeiro curso de Filosofia da Matemática. Pode ser usado ao nível de uma graduação ou de uma pós -graduação, de Filosofia ou de Matemática. Restantes académicos e investigadores, bem como professores do ensino não -universitário, podem também encontrar aqui uma referência e uma orientação para o seu trabalho e investigação. O livro apenas pressupõe conhecimentos de matemática e de filosofia, de nível pré -universitário.
- A matemática no ensino profissional: os programas e as representações dos professoresPublication . Rodrigues, Alexandra Sofia da Cunha; Matos, José Manuel Leonardo de; Bento, António Jorge GomesEste estudo pretende perceber qual o papel da matemática no ensino profissional desde o seu início até à atualidade e quais os métodos pedagógicos que os professores privilegiam para o seu ensino. Podemos dividir esta investigação em duas partes. Numa primeira parte e numa perspetiva histórica analisaram-se os programas de matemática do ensino profissional de nível não superior, desde o aparecimento do ensino técnico em Portugal, refletindo-se sobre o papel da disciplina na formação de jovens cujo objetivo seria a inserção no mercado de trabalho. Esta parte do estudo foi estruturada em dois momentos, o primeiro até 1975, com a unificação do ensino técnico com o ensino liceal. Um segundo momento, a partir da primeira tentativa de reimplementar o ensino profissional no nosso país em 1983, até à atualidade. Na segunda parte da investigação usou-se uma metodologia de estudo de caso, onde se estudaram 4 casos (4 escolas profissionais localizadas na região do interior centro do país). Pretendeu-se perceber quais as representações e as práticas profissionais indicadas pelos professores para o ensino da matemática nos cursos profissionais, quais os programas, a visão dos professores sobre a disciplina, sobre a escola, sobre os alunos e sobre as orientações metodológicas a adotar para ensinar matemática a um curso profissional. Nesta segunda parte utilizou-se um paradigma de investigação interpretativo, analisando-se as entrevistas a 10 professores de Matemática e alguns programas de Matemática em vigor em três das escolas estudadas.
- Método dos elementos finitos para problemas com fronteiras livresPublication . Duque, José Carlos Matos; Antontsev, Stanislav Nikolaevich; Almeida, Rui Manuel PiresNeste trabalho pretende-se fazer um estudo sobre a aplicação do método dos elementos nitos a diversos problemas de reação-difusão com fronteiras livres. Para se obter estimativas do erro e simulações representativas é necessário obter alguns resultados teóricos sobre regularidade e algumas propriedades físicas das soluções. Neste sentido, o outro objetivo deste trabalho é o estabelecimento de resultados teóricos relativos a problemas em aberto. O primeiro problema a ser estudado é a equação parabólica seguinte: ut = div(juj (x;t)ru) + f(x; t); x 2 Rd; t 2]0; T]: Como o problema pode ser degenerado, utiliza-se um problema aproximado, regularizado atrav és da introdução de um parâmetro ". Demonstra-se, sob algumas condições em e f que a solução fraca do problema aproximado converge para a solução fraca do problema inicial, quando o parâmetro " tende para zero. São calculadas soluções discretas utilizando o método dos elementos nitos contínuo no espaço e descontínuo no tempo e é provada a convergência destas soluções para a solução fraca do problema inicial. Estuda-se também a aplicação do método da malha móvel a esta equação considerando-a num domínio livre em R2. É desenvolvido um conjunto de subrotinas em Matlab que permitem calcular e representar gra camente soluções aproximadas de vários problemas de reacção-difus ão com fronteiras livres. A discretização espacial é de nida por uma partição do domínio em triângulos. Em cada elemento nito, a solução é aproximada por uma função seccionalmente polinomial de grau r 1 utilizando polinómios interpoladores de Lagrange em coordenadas de área. Os vértices dos triângulos podem mover-se segundo um sistema de equações diferenciais parciais que é adicionado ao problema. Posteriormente, deduz-se uma equação para mover os vértices da fronteira. O sistema resultante é convertido num sistema de equações diferenciais ordinárias no tempo, que é resolvido utilizando um integrador apropriado. Os integrais que surgem são calculados utilizando a quadratura de Gauss. Finalmente, são apresentados alguns resultados de aplicação. O outro problema estudado é o sistema não linear da forma ( ut = a1(l1(u); l2(v)) u + 1jujp2u + f1(x; t) vt = a2(l1(u); l2(v)) v + 2jvjp2v + f2(x; t) ; x 2 Rd; t 2]0; T]; onde a1 e a2 são funções positivas e Lipschitz-contínuas, l1 e l2 são formas lineares contínuas, 1; 2 0 e p 2. Prova-se a existência e unicidade de soluções fortes, assim como, algumas propriedades de localização, nomeadamente a existência de tempo de espera e a localização estável. Demonstra-se, impondo algumas condições em p e fi, que as soluções deste sistema podem decair de forma exponencial ou polinomial ou até extinguirem-se em tempo nito. O sistema é discretizado utilizando o método dos elementos nitos de Galerkin no espaço e um método de Euler linearizado no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém- -se a ordem de convergência em função dos parâmetros da discretização. No nal, o método é implementado em ambiente Matlab e são apresentados alguns resultados numéricos.
- Pensamento Geométrico: Geometria não euclidiana no ensino secundárioPublication . Gonçalves, Maria Teresa Serrão Sanches; Matos, José Manuel Leonardo de; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaMuitos anos dedicados à prática letiva foram determinantes para a decisão de levar a cabo esta investigação. Porque os conteúdos relativos à Geometria são de forma generalizada um problema para os alunos e um entrave ao seu sucesso escolar, tem todo o sentido centralizar a investigação na área da Didática da Matemática no tema Geometria. O objetivo desta investigação é o de averiguar como o conhecimento de outras geometrias (além da euclidiana) e a sua aplicação conduzem o pensamento geométrico dos alunos. Com o propósito bem definido de obter conclusões que possam contribuir de forma construtiva no domínio da didática da Matemática, e dar resposta a: (i) será importante, ou não, a apresentação e aplicação de outras geometrias (além da euclidiana) no ensino secundário com o objetivo de desenvolver capacidades geométricas? e (ii) de que modo o conhecimento e aplicação de outras geometrias influencia o pensamento geométrico nos alunos? Foram elaboradas propostas didáticas com um objetivo de estudo: “fazer emergir sinais” indiciadores de uma atividade intelectual, conducente à apropriação de significados geométricos, expressa através da linguagem. A um grupo de nove alunos do ensino secundário (alunos com idades compreendidas entre 15 e 18 anos), elementos do Clube de Matemática da escola que frequentam, foi proposto a realização de algumas tarefas investigativas. Estas tarefas foram selecionadas para potenciar o desenvolvimento do processo semiótico. A professora/investigadora conduziu as sessões fomentando a discussão e a comunicação segundo uma perspetiva dialética em que promoveu a evolução de sinais (analisados na linguagem) e orientou de forma a que estes fossem consistentes com os significados matemáticos definidos na intervenção didática. De todas as sessões foi feita a gravação áudio e todas essas gravações foram transcritas permitindo uma análise ao modo como os alunos se envolveram na realização das tarefas, à interação entre si e com o professor, aos sinais emergentes de quaisquer reações no grupo de trabalho, em particular aos emergentes das discussões coletivas e à linguagem utilizada. A análise dos dados recolhidos durante a realização das atividades pelos alunos teve em conta a mediação semiótica alicerçada na Teoria da Atividade. Cada verbalização ocorrida dentro da discussão coletiva foi classificada por um sinal. A partir dessa classificação analisou-se o estado evolutivo dos significados pessoais dos alunos em relação ao significado matemático, de acordo com os conceitos matemáticos que associámos a cada tarefa. Essa análise levou-nos a identificação de cadeias evolutivas dentro da discussão coletiva. Essas cadeias evolutivas foram sujeitas a uma análise mais detalhada e verificou-se que a apresentação e aplicação das GNE em tarefas com os alunos não teve um efeito inócuo e pode desenvolver capacidades geométricas e influenciar o pensamento geométrico dos alunos.