Departamento de Matemática
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Browsing Departamento de Matemática by Field of Science and Technology (FOS) "Ciências Naturais::Matemáticas"
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- Análise de variância com amostras de dimensão aleatória e suas aplicaçõesPublication . Andrade, Gilberto Capistrano Cunha de; Nunes, Célia Maria Pinto; Ferreira, Dário Jorge da ConceiçãoA Análise de variância (ANOVA) é utilizada em muitas áreas de investigação, nomeadamente em investigação médica, agricultura ou psicologia, para citar apenas algumas, onde as dimensões das amostras podem não ser previamente conhecidas. Esta situação ocorre com frequência quando o intervalo de tempo para a recolha das observações é fixado à partida. Um bom exemplo corresponde à recolha de observações para um estudo onde se pretende comparar várias patologias de pacientes que chegam às urgências de um hospital num determinado período de tempo. Neste trabalho iremos estender a ANOVA, com um e mais fatores, ao caso em que as dimensões das amostras são desconhecidas, devendo ser tratadas como realizações de variáveis aleatórias. Esta abordagem deve ser baseada na escolha adequada da distribuição destas variáveis. No presente trabalho são consideradas duas situações distintas: No primeiro caso assumiremos que as variáveis aleatórias seguem distribuições de Poisson, situação em que a ocorrência das observações corresponde a processos de contagem e não existem limites superiores para as dimensões das amostras (tal como ilustrado no exemplo anterior, referente à comparação de patologias); No segundo caso, consideraremos a distribuição Binomial, quando existe um limite superior para as dimensões das amostras, que nem sempre é atingido uma vez que podem ocorrer falhas nas observações. Como resultados, serão obtidas as estatísticas de teste e suas distribuições, condicional e não condicional assumindo as dimensões das amostras como aleatórias, para modelos de efeitos fixos, modelos de efeitos aleatórios e modelos mistos. Adicionalmente, serão apresentadas várias aplicações com registos do cancro no Brasil que nos permitirão ilustrar a utilidade da nossa abordagem assim como comparar os resultados obtidos com os da ANOVA usual.
- Conformal minimal immersions of constant curvature of Riemann surfaces into symmetric spaces and flag manifoldsPublication . Rehman, Mehmood ur; Pacheco, Rui Miguel Nobre MartinsFollowing the seminal result by Eugenio Calabi establishing the local classification of complex submanifolds with constant holomorphic sectional curvature in complex space forms, several researchers have investigated minimal immersions with constant curvature of Riemann surfaces into symmetric spaces. For isometric immersions, recall that minimality is equivalent to harmonicity, hence the rich theory of harmonic maps has played here an important role. There exists a well-established theory on twistorial constructions of harmonic maps from Riemann surfaces into symmetric spaces. An important class of twistor lifts is that of primitive maps into k-symmetric spaces. In this thesis, we investigate primitive immersions of constant curvature from Riemann surfaces into flag manifolds equipped with invariant metrics and their canonical structure of k-symmetric spaces. First we consider the case of primitive lifts associated to pseudoholomorphic maps from surfaces into complex Grassmannians. We establish that any such primitive lift from the twosphere S2 into a flag manifold has constant curvature with respect to all invariant metrics, provided that it has constant curvature with respect to at least one such invariant metric. This lead us to conclude as a corollary that any primitive immersion of constant curvature from S2 into the full flag manifold is unitarily equivalent to the primitive lift of a Veronese map. We prove a partial generalization of this result to the case where the domain is a general simply connected Riemann surface. On the way, we consider the problem of finding the invariant metric on the flag manifold, under a certain normalization condition, that maximizes the induced area of the two-sphere by a given primitive immersion. Finally, we explicitly classify all the primitive immersions of constant curvature from S2 into certain low dimensional flag manifolds, namely F2,1,1 and F2,2,1.
- A construção do conhecimento no desenvolvimento do pensamento algébricoPublication . Pimenta, Corália Maria Santos; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaO presente estudo centra-se na análise do processo de abstração, identificado em alunos com nove e dez anos de idade, quando constroem um novo conhecimento matemático que decorre do incentivo ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Realizou-se no contexto de sala de aula de matemática, onde a investigadora era a professora da turma. Através da investigação efetuada procurou-se analisar, descrever e refletir sobre os raciocínios desenvolvidos pelos alunos, compreender melhor a influência do contexto, em particular da mediação estabelecida pela professora e verificada entre alunos, no desenvolvimento do processo de abstração e, consequentemente, na construção do novo conhecimento matemático. Procuraram-se identificar dificuldades manifestadas durante a resolução das tarefas e exposição de raciocínios, bem como reconhecer características que contribuam para o desenvolvimento algébrico. Procurou-se, ainda, dar resposta às seguintes questões de investigação: (1) Na construção do novo conhecimento matemático, que ações epistémicas se podem identificar durante o processo de abstração quando os alunos desenvolvem a compreensão dos dados enunciados, identificam regularidades e relações, mobilizam conhecimentos e ideias, generalizam ou estendem procedimentos aritméticos a valores desconhecidos e resolvem problemas de natureza algébrica? Como se sequenciam e relacionam essas ações epistémicas? (2) Como se manifesta o processo de mediação, estabelecido pela professora e promovido entre alunos, na construção do novo conhecimento e, em particular, no desenvolvimento das ações epistémicas? Face ao interesse em colmatar as dificuldades evidenciadas pelos alunos durante a aprendizagem da álgebra, procurou estimular-se o pensamento algébrico, aplicando orientações da proposta curricular Early algebra. Para tal, selecionaram-se as tarefas exploratórias, através das quais se procurou promover a observação de regularidades, relações e propriedades numéricas, a interpretação e utilização de linguagem simbólica, a resolução de problemas de natureza algébrica e a generalização e extensão de procedimentos aritméticos a algébricos. Relativamente à construção do novo conhecimento matemático, valorizou-se o processo de abstração que ocorre mediante a reorganização vertical de construções matemáticas adquiridas, que ascende do abstrato ao concreto e que dá expressão ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Adotou-se o modelo teórico AiC, Abstract in Context, que defende a ideia da matematização vertical e da interligação de ações epistémicas no desenvolvimento do processo de abstração e na construção do novo conhecimento matemático, bem como o modelo teórico e metodológico RBC+C (Dreyfus, T., Hershkowitz, R., & Schwarz, B. B., 2001) que permite compreender, através do desenvolvimento das ações epistémicas Reconhecer, Construir, Construção e Consolidação, como ocorre a nova construção. No contexto deste trabalho, a mediação estabelecida pela professora e verificada entre alunos é relevante para a aquisição do novo conhecimento matemático, realçando-se, da parte da professora o incentivo à utilização de artefactos e, em particular, à exploração da tarefa e representações tabelar e pictóricas que ela possa contemplar ou que sejam desenvolvidas pelos alunos. No sentido da mediação, destaca-se o ciclo didático (Bussi & Marotti, 2008) através do qual se procurou compreender o alcance da atuação da professora no desenvolvimento das ações epistémicas supracitadas e, consequentemente, na construção do novo conhecimento matemático. Relativamente à metodologia aplicada, seguiu-se uma abordagem qualitativa, inserida no paradigma interpretativo. A recolha dos dados foi efetuada durante o ano letivo de 2013/2014. As conclusões apresentadas dão indicação de que o processo de abstração inicia-se com o desenvolvimento da ação epistémica Reconhecer e que esta ação, bem como Construir, são essenciais à nova construção. Realçam, ainda, que os conhecimentos dos alunos, a forma como representam dados e ideias, a criatividade e a mediação, estabelecida entre eles e com a professora, favorecem a construção do novo conhecimento matemático. Indicam, também, que as ações epistémicas manifestaram-se e relacionaram-se entre si, que para promover o desenvolvimento do pensamento algébrico, a Construção deverá contemplar situações em que se estimula o pensamento analítico, a generalização, a extensão de procedimentos ariméticos a algébricos, a utilização de simbologia e a resolução de problemas de natureza algébrica. A manifestação da Consolidação, durante a Construção do novo conhecimento matemático valoriza as orientações dadas pela proposta curricular Early algebra, evidenciando as vantagens de estimular o pensamento algébrico desde os primeiros anos do ensino básico. Para finalizar o estudo, a investigadora teceu algumas recomendações, entre as quais se destacam: a elaboração de uma proposta pedagógica que dê indicações precisas sobre o tipo de trabalho que se deve desenvolver para estimular o pensamento algébrico dos alunos; a necessidade de se fundamentar melhor o papel das tarefas, da resolução de problemas de natureza algébrica e das representações no desenvolvimento do pensamento algébrico e a aplicação do modelo RBC+C (Dreyfus et al., 2001) para analisar o desenvolvimento do pensamento geométrico, estatístico, entre outros, que possam contribuir para melhorar a aprendizagem matemática dos alunos.
- Convergence of asymptotic systems with unbounded delays with applications to Cohen-Grossberg neural networks and Lotka-Volterra systemsPublication . Elmwafy, Ahmed Osama Mohamed Sayed Sayed; Silva, César Augusto Teixeira Marques da; Oliveira, José Joaquim MartinsThis thesis studies the dynamics of two prominent classes of models: Cohen-Grossberg neural network (CGNN) and Lotka-Volterra ecological systems. Firstly, we investigate the global exponential stability and the existence of a periodic solution of a general differential equation with unbounded distributed delays. The main stability criterion depends on the dominance of the non-delay terms over the delay terms. The criterion for the existence of a periodic solution is obtained by applying the coincidence degree theorem. We use the main results to obtain criteria for the existence and global exponential stability of periodic solutions of a generalized higher-order periodic CGNN model with discrete-time varying delays and infinite distributed delays. Moreover, we study the convergence of asymptotic systems in nonautonomous CGNN models. We derive stability results under conditions where the non-delay terms asymptotically dominate the delay terms. In the second part, we explore Lotka–Volterra-type ecological models with delays. We investigate the concept of permanence of a general delay differential system and apply it to a general Lotka-Volterra type model. Moreover, we obtain a partial result on the convergence of the system to its asymptotic systems. Additionally, we provide a comparison with results in the literature and numerical examples to illustrate the effectiveness of some of our results.
- Dynamics of non-autonomous SEIRS models with general incidencePublication . Mateus, Joaquim Manuel Pereira; Silva, César Augusto Teixeira Marques daWe consider SEIRS models with general incidence functions depending on the susceptibles, the infectives and the total population, and we analyze this models in several scenarios: autonomous, general non-autonomous and periodic. In all this settings, we discuss the strong persistence and the extinction of the disease. Additionally, we address the following problems: in the autonomous setting, we obtain results on the existence and global stability of disease-free and endemic equilibriums; in the periodic setting, we obtain the global stability of disease-free periodic solution when the basic reproductive number is less than one, and, using the wellknown Mawhin continuation theorem, we discuss the existence of endemic periodic solutions; in the general non-autonomous setting, we prove that our conditions for strong persistence and extinction are robust, in the sense that they are unchanged by su ciently small perturbations of the parameters and the incidence functions. Finally, we consider a version of our model with two control variables, vaccination and treatment, and study the existence and uniqueness of solution of the optimal control model considered. Some computational experiences illustrate our results.
- Ensino baseado em resolução de problemas com recurso à folha de cálculoPublication . Cumbo, Óscar Mavungo; Carreira, Susana Paula Graça; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaO presente estudo tem como foco central os resultados da implementação de uma sequência didática para o ensino-aprendizagem de Sucessões Numéricas, numa disciplina de Análise Matemática do 1º ano de uma licenciatura em Engenharia do Ambiente. As questões de investigação incluem: a aquisição de diretrizes para a elaboração e implementação de uma sequência didática baseada na resolução de problemas contextualizados e no recurso à folha de cálculo; a compreensão sobre o modo como os alunos fazem uso de diferentes registos de representação semiótica; e a caraterização dos processos de construção de modelos conceptuais pelos alunos. Para tal, são analisados os tipos de registos de representação semiótica que os alunos produzem, a natureza dos modelos que os alunos criam quando se envolvem em atividades propulsoras de modelos, inerentes ao tópico de Sucessões Numéricas, e a utilidade que a folha de cálculo revela ter nestas circunstâncias. Para o enquadramento teórico do estudo foram consideradas as contribuições de diversas linhas de investigação, designadamente em torno da resolução de problemas e da didática das situações de aprendizagem que sublinham o papel do aluno e do contexto educacional na sua aprendizagem. Assim, o estudo apoia-se em princípios essenciais propostos pela Teoria das Situações Didáticas para sustentar as opções didáticas e metodológicas assumidas. A natureza das questões de investigação, por seu turno, justificou a procura de articulações entre duas teorias chave, designadamente a Teoria de Registos de Representação Semiótica (TRSS) e a Perspetiva de Modelos e Modelação (M&M) O estudo seguiu uma metodologia interpretativa, baseada em estudos de caso, e foi delineado segundo os pressupostos da Engenharia Didática enquanto modalidade de investigação de índole qualitativa, integrando uma vertente de experiência de ensino. Os participantes são os alunos do 1.º ano do curso de licenciatura em Engenharia do Ambiente ministrado na Escola Superior Politécnica do Namibe (ESPtN). Entre estes, foram selecionados três alunos que permitiram a realização de três estudos de caso. O autor do presente estudo assumiu o papel de professor-investigador, sendo assim o docente que lecionou as aulas da sequência didática implementada. A recolha de dados incluiu a observação participante, em sala de aula, dos alunos no decurso da realização das tarefas propostas, os seus relatórios escritos, o registo vídeo e áudio das falas, argumentações e comentários proferidos pelos três alunos-casos durante a resolução de problemas e ainda os resultados de inquéritos aplicados a todos os alunos do primeiro ano do referido curso e aos professores de matemática da escola supracitada. Com este estudo, foi possível concluir que a realização de atividades propulsoras de modelos inerentes ao tópico de Sucessões Numéricas, com recurso à folha de cálculo, fornece oportunidades para os alunos alcançarem aprendizagens específicas, inerentes a conceitos matemáticos, mas também aprendizagens de caráter mais abrangente, como seja, a sua capacidade de interpretar uma situação e de a matematizar, mobilizando os seus conhecimentos anteriores ou prosseguindo para novos conhecimentos. Os resultados evidenciaram a possibilidade de um paralelismo entre os ciclos de modelação efetuados pelos alunos e as sucessivas conversões de registos semióticos, o que confirma que a experiência do ensino proporcionou a aprendizagem dos alunos, na ótica das duas perspetivas teóricas. Por fim, importa referir que o estudo revelou que a folha de cálculo subsidiou, de forma relevante, a concretização de tratamentos de registos numéricos, bem como múltiplas conversões de registos.
- Evolutas e Curvas do Tipo LuzPublication . Nolasco, Boaventura Beleza dos Santos; Pacheco, Rui Miguel Nobre MartinsFazendo uso da projeção isotrópica para a geometria de Laguerre, estabelecemos uma correspondência entre curvas do tipo luz no espaço tridimensional de Minkowski e curvas no plano euclidiano. Descrevemos a geometria das curvas do tipo luz (triedro de Frenet-Serret, pseudo-comprimento de arco, pseudo-torção, pares de curvas associadas) em termos da curvatura das curvas planas correspondentes. Isto irá conduzir-nos a uma caracterização original de todas as curvas planas que são Laguerre-congruentes com uma curva dada.
- Uma Introdução à Filosofia da MatemáticaPublication . Castro, Eduardo Jorge de SousaEste livro é um manual para um primeiro curso de Filosofia da Matemática. Pode ser usado ao nível de uma graduação ou de uma pós -graduação, de Filosofia ou de Matemática. Restantes académicos e investigadores, bem como professores do ensino não -universitário, podem também encontrar aqui uma referência e uma orientação para o seu trabalho e investigação. O livro apenas pressupõe conhecimentos de matemática e de filosofia, de nível pré -universitário.
- KUHN, T. The Last Writings of Thomas S. Kuhn: Incommensurability in Science. Chicago: University of Chicago Press, 2022Publication . Castro, EduardoOs escritos reunidos neste livro dividem-se em duas partes. A primeira parte é composta por dois textos ministrados no âmbito de conferências. A segunda parte é o livro inacabado de Thomas Kuhn, A Pluralidade dos Mundos: uma Teoria Evolucionista do Desenvolvimento Científico. [...]
- A matemática no ensino profissional: os programas e as representações dos professoresPublication . Rodrigues, Alexandra Sofia da Cunha; Matos, José Manuel Leonardo de; Bento, António Jorge GomesEste estudo pretende perceber qual o papel da matemática no ensino profissional desde o seu início até à atualidade e quais os métodos pedagógicos que os professores privilegiam para o seu ensino. Podemos dividir esta investigação em duas partes. Numa primeira parte e numa perspetiva histórica analisaram-se os programas de matemática do ensino profissional de nível não superior, desde o aparecimento do ensino técnico em Portugal, refletindo-se sobre o papel da disciplina na formação de jovens cujo objetivo seria a inserção no mercado de trabalho. Esta parte do estudo foi estruturada em dois momentos, o primeiro até 1975, com a unificação do ensino técnico com o ensino liceal. Um segundo momento, a partir da primeira tentativa de reimplementar o ensino profissional no nosso país em 1983, até à atualidade. Na segunda parte da investigação usou-se uma metodologia de estudo de caso, onde se estudaram 4 casos (4 escolas profissionais localizadas na região do interior centro do país). Pretendeu-se perceber quais as representações e as práticas profissionais indicadas pelos professores para o ensino da matemática nos cursos profissionais, quais os programas, a visão dos professores sobre a disciplina, sobre a escola, sobre os alunos e sobre as orientações metodológicas a adotar para ensinar matemática a um curso profissional. Nesta segunda parte utilizou-se um paradigma de investigação interpretativo, analisando-se as entrevistas a 10 professores de Matemática e alguns programas de Matemática em vigor em três das escolas estudadas.