Departamento de Matemática
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- Abordagens ao Modelo de Lotka-VolterraPublication . Capoco, Calvino Paulo; Vaz, Sandra Cristina de PintoNesta dissertação, vamos considerar o modelo Lotka-Volterra. Este foi obtido na década 1920’s independentemente por Lotka e Volterra. O modelo é dado por um par de equações diferenciais não lineares de primeira ordem e considera a interação entre as duas populações. Existem três grandes tipos de interação: competição, cooperação e predador -presa. Neste trabalho, estudamos o modelo Lotka-Volterra com interação do tipo predador-presa. Para modelar a dinâmica entre as duas populações podemos adicionar termos ao modelo original de forma a torná-lo mais realista e sempre que possível estimar a sua estabilidade. No primeiro modelo a ser analisado, será introduzido um termo nas presas e será estudada sua estabilidade. Um dos termos a ser adicionado pode ser um controle, numa ou nas duas populações e pode ser visto como introdução ou remoção de elementos nas populações. No segundo e terceiro modelo, iremos introduzir um termo que deverá ser visto como um controle. Este será introduzido nos predadores e será do tipo ON-OFF. Em ambos os modelos iremos mostrar graficamente que os modelos aparentam convergir para um ponto numa zona específica. Todos serão modelados usando equações às diferenças mas para isso é necessário escolher um esquema numérico. Entre os mais comuns estão os métodos de Euler, Runge-Kutta e Mickens. Iremos usar o método de Mickens.
- Action of Curcumin on Glioblastoma Growth: A Systematic Review with Meta-Analysis of Animal Model StudiesPublication . Luís, Ângelo; Amaral, Leonor; Domingues, F.C.; Pereira, L.; Cascalheira, JoséGliomas are aggressive brain tumors with poor prognosis even after surgical removal and radio-chemotherapy, stressing the urgency to find alternative therapies. Several preclinical studies evaluating the anticancer effect of curcumin in animal models of glioma are reported, but a systematic review with meta-analysis of these studies, considering the different experimental conditions used, has not been made up to this date. A search in different databases (Pubmed, Web of Science, Scopus, and SciELO) following the PRISMA statement was conducted during November 2023 to systematically identify articles assessing the effect of curcumin in murine xenograft models of glioma and identified 15 articles, which were subdivided into 24 studies. Tumor volume before and after treatment with curcumin or vehicle was extracted and the efficacy of curcumin was evaluated by performing a random effects meta-analysis of the data. Publication bias and the impact of different experimental conditions on curcumin efficacy were assessed. Treatment with curcumin decreased tumor volume. Comparing curcumin with control groups, the overall weighted standardized difference in means was −2.079 (95% CI: −2.816 to −1.341; p-value < 0.001). The curcumin effect was observed for different animal models, types of glioma cells, administration routes, and curcumin formulations. Publication bias was identified but does not invalidate curcumin’s effectiveness. The findings suggest the potential therapeutic efficacy of curcumin against glioma.
- Algoritmos para solventes de polinómios matriciaisPublication . Marcos, Fernando António CarvalhoOs polinómios matriciais têm um papel importante na teoria das equações diferenciais matriciais resultantes de formulações matemáticas cada vez mais exigentes. Precisamente, uma abordagem para o problema de cálculo numérico de soluções de equações diferenciais matriciais é feita através da computação de solventes do polinómio matricial associado P(X) (Lancaster [25], pag. 525). O primeiro trabalho que se conhece neste âmbito está presente em Dennis [9], que deu origem ao desenvolvimento da teoria algébrica dos polinómios matriciais Dennis [10] e [11] e onde são apresentados Algoritmos de cálculo de solventes. Chama-se à atenção do leitor para Dennis [11], pág. 524, onde são de nidos dois métodos iterativos que permitem o cáculo de solventes. O primeiro, citado como método de Traub, permite a computação do solvente dominante, isto é, do solvente cujos valores próprios são maiores, em módulo, do que os valores próprios de qualquer outro solvente. O segundo Algoritmo é uma versão matricial do método de Bernoulli, que consiste basicamente no método da Potência aplicado à matriz companheira de P(X). Após Dennis [11] vários trabalhos consideraram este método (Lancaster [22], Tsai [38], Higham [19], Pereira [34]). O método de Newton clássico também foi adaptado ao contexto dos polinómios matriciais, primeiro à equação quadrática (Davis [5], Kratz [21], Higham [18], Long [26]) e posteriormente para polinómios de grau m qualquer. Recentemente foi também objeto de estudo em Higham [19] e Pereira [33]. Todos os métodos referidos são desenvolvidos com base na álgebra matricial, isto é, com base na equação P(X) = 0n n em Cn n. No presente trabalho é desenvolvido um método do ponto xo considerando as entradas do polinómio matricial P(X), reduzindo o problema ao nível escalar tentando com isso evitar os problemas de cálculo derivados da álgebra matricial sobretudo quando estes envolvem a inversa de uma matriz. É também apresentada uma versão vetorial do método de Newton para polinómios matriciais. Na sequência da ideia desenvolvida em (Marcos [27], pág. 357), onde a equação matricial P(X) = 0n n é trabalhada ao nivel escalar, é também considerado o método de Newton aplicado à equação formada por n n equações polinomiais. O objetivo é evitar a derivada de Fréchet e a resolução da respetiva equação matricial de Silvester em cada iteração, tal como acontece no método de nido em (Higham [18], pág. 4). De acordo com Dennis [9], pág. 80, se X é um solvente do polinómio matricial P(X) então X um bloco valor próprio da matriz companheira, CV = V X no caso mónico, ou bloco valor próprio do feixe companheiro, C1V = C2V X no caso não mónico. Relativamente a métodos iterativos com aplicação no cálculo de blocos valores próprios, pelo que se conseguiu apurar, existe apenas o método da Potência de nido em (Dennis [9], pág. 83) e aplicado apenas a polinómios mónicos. Assim, é apresentado o Método Newton Vetorial para Blocos Valores Próprios de nido para blocos valores próprios da matriz companheira e posteriormente adaptado ao cálculo de blocos valores próprios do feixe companheiro ou de um feixe genérico (A;B) = B A qualquer. Por último generalizou-se esta formulação para o cálculo de feixes próprios, ( B A)V = W( Y X): resultando no Método de Newton Vetorial para Feixes Próprios, de nido para um feixe genérico (A;B) = B A.
- Alguns fundamentos acerca dos testes de hipótesesPublication . Andrade, André Marques de; Gama, Jorge Manuel dos ReisA fundamentação teórica dos testes de hipóteses é excecionalmente analisada em estudos estatísticos, daí o objetivo deste estudo ser a recolha de alguns dos mais importantes pressupostos teóricos dos testes de hipóteses. A obtenção de resultados como testes Mais Potentes (MP), testes Uniformemente Mais Potentes (UMP) e testes Uniformemente Mais Potentes Não Enviesados (UMPU) é comum nos estudos estatísticos, mas é necessário o conhecimento das condições que satisfazem esses testes.
- Análise de variância com amostras de dimensão aleatória e suas aplicaçõesPublication . Andrade, Gilberto Capistrano Cunha de; Nunes, Célia Maria Pinto; Ferreira, Dário Jorge da ConceiçãoA Análise de variância (ANOVA) é utilizada em muitas áreas de investigação, nomeadamente em investigação médica, agricultura ou psicologia, para citar apenas algumas, onde as dimensões das amostras podem não ser previamente conhecidas. Esta situação ocorre com frequência quando o intervalo de tempo para a recolha das observações é fixado à partida. Um bom exemplo corresponde à recolha de observações para um estudo onde se pretende comparar várias patologias de pacientes que chegam às urgências de um hospital num determinado período de tempo. Neste trabalho iremos estender a ANOVA, com um e mais fatores, ao caso em que as dimensões das amostras são desconhecidas, devendo ser tratadas como realizações de variáveis aleatórias. Esta abordagem deve ser baseada na escolha adequada da distribuição destas variáveis. No presente trabalho são consideradas duas situações distintas: No primeiro caso assumiremos que as variáveis aleatórias seguem distribuições de Poisson, situação em que a ocorrência das observações corresponde a processos de contagem e não existem limites superiores para as dimensões das amostras (tal como ilustrado no exemplo anterior, referente à comparação de patologias); No segundo caso, consideraremos a distribuição Binomial, quando existe um limite superior para as dimensões das amostras, que nem sempre é atingido uma vez que podem ocorrer falhas nas observações. Como resultados, serão obtidas as estatísticas de teste e suas distribuições, condicional e não condicional assumindo as dimensões das amostras como aleatórias, para modelos de efeitos fixos, modelos de efeitos aleatórios e modelos mistos. Adicionalmente, serão apresentadas várias aplicações com registos do cancro no Brasil que nos permitirão ilustrar a utilidade da nossa abordagem assim como comparar os resultados obtidos com os da ANOVA usual.
- Analysis of grade repetition through multilevel models: A study from PortugalPublication . Bastos, Amélia; Ferrão, Maria EugéniaThis paper investigates grade repetition in Portugal using microdata. Drawing on multilevel models, we analyse the number of times the student repeated a grade in compulsory education – our dependent variable – in association with children’s individual characteristics, household sociodemographic and economic background, and children’s living conditions – our covariates. Furthermore, we also attempt to shed light on the impact of schools on the endogenous variable. Our results confi rm the importance of individual, family, and neighbourhood characteristics on the rate of grade repetition. In terms of schools, the results obtained show that the student’s probability of failure vary across schools, demonstrating the importance of the impact of the school itself on grade repetition.
- Analyzing the Gaver - Lewis Pareto Process under an Extremal PerspectivePublication . Ferreira, Marta; Ferreira, HelenaPareto processes are suitable to model stationary heavy-tailed data. Here, we consider the auto-regressive Gaver–Lewis Pareto Process and address a study of the tail behavior. We characterize its local and long-range dependence. We will see that consecutive observations are asymptotically tail independent, a feature that is often misevaluated by the most common extremal models and with strong relevance to the tail inference. This also reveals clustering at “penultimate” levels. Linear correlation may not exist in a heavy-tailed context and an alternative diagnostic tool will be presented. The derived properties relate to the auto-regressive parameter of the process and will provide estimators. A comparison of the proposals is conducted through simulation and an application to a real dataset illustrates the procedure.
- Anéis filiaisPublication . Chouzal, Tânia Cristina Gonçalves Robalo; Mendes, Deolinda Isabel da ConceiçãoO nosso principal objectivo é estudar o trabalho de G. Ehrlich e também de R. Andruszkiewicz e E.R. Puczylowski no que concerne aos anéis liais, isto é, anéis em que a relação de ideal é transitiva. Começamos por resumir algum material de base que será usado ao longo do trabalho. Em particular, referimo-nos a anéis primos e semiprimos, ao Radical de Jacobson e algumas das suas propriedades; apresentamos a construção de um anel de fracções a partir de um anel comutativo e registamos algumas propriedades da estrutura dos seus ideais. Além disso, recordamos algumas de nições básicas e conceitos acerca dos domínios de ideais principais e dos domínios de factorização única. Em seguida, de nimos anel lial e apresentamos vários exemplos. São dadas várias caracterizações de anéis liais e, em particular, de anéis liais semiprimos, Artinianos e nilpotentes. Também é investigada a lialidade de domínios de integridade. Por último, é apresentada uma ligação entre os grupos abelianos e os anéis liais.
- ANOVA with random sample sizes: An application to a Brazilian database on cancer registriesPublication . Nunes, Célia; Capistrano, Gilberto; Ferreira, Dário; Ferreira, Sandra S.ANOVA is routinely used in many situations, namely in medical research, where the sample sizes may not be previously known. This leads us to consider the samples sizes as realizations of random variables. The aim of this paper is to extend one-way random effects ANOVA to those situations and apply our results to a Brazilian database on cancer registries.
- Aplicação da Taxonomia SOLO na análise da qualidade da avaliaçãoPublication . Pereira, Verónica Carla de Almeida Santos; Matos, José Manuel Leonardo de; Silva, César Augusto Teixeira Marques daJEAN PIAGET defendia que “a capacidade cognitiva humana nasce e desenvolve-se, não vem pronta.” Temos hoje consciência de que o ser humano evolui em consequência da sua interação sensorial com o mundo, construindo a sua intrincada relação de ações condicionadas pela perceção do que o rodeia e pela sua capacidade de criar e relacionar com o que apreende. O conhecimento resulta, assim, de um processo de aprendizagem complexo, variável de indivíduo para indivíduo, mas que pode ser compreendido, sistematizado e definido. BIGGS e COLLIS, partindo dos pressupostos gerais enunciados por PIAGET, elaboraram uma teoria, denominada Taxonomia SOLO, que nos fornece parâmetros para analisar e classificar os conteúdos de um processo de aprendizagem, através da descrição dos processos envolvidos na dialética pergunta/resposta, numa escala de dificuldade ou complexidade. A dialética pergunta/resposta é, na sua génese, a ferramenta essencial de um momento determinante do processo de ensino – a Avaliação. O nosso trabalho assenta essencialmente numa análise do processo de Avaliação, tendo por base o conjunto de provas de avaliação da disciplina de matemática num contexto determinado e num período de tempo concretamente definido, através da análise e classificação de questões sobre os diversos conteúdos avaliados. A investigação incidiu sobre os exames nacionais de Matemática do 12º ano de escolaridade, em ambas as fases de exame, entre 2006 e 2014. Como metodologia, seguimos os pressupostos da Taxonomia SOLO propostos por BIGGS e COLLIS, no modelo de categorização desenvolvido e adaptado por MÁRIO CEIA, a partir do qual seguimos uma matriz de classificação das questões que entendemos ajustada ao objeto da análise e fiel aos pressupostos de base. O nosso trabalho fornece uma análise exaustiva de um momento do processo de ensino enquanto processo de validação da metodologia proposta. Conscientemente, não aborda outras perspetivas fundamentais para uma análise global da qualidade de ensino e que não cabem no âmbito desta tese. Ainda assim, pelos resultados obtidos, podemos enunciar algumas propostas conclusivas quanto às evidências que resultam do estudo e que desde já se antecipam – o ensino da matemática é generalizante, o grau de exigência é cada vez maior e as médias finais na avaliação da disciplina tendiam para mais negativas.