Faculdade de Ciências
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Browsing Faculdade de Ciências by advisor "Almeida, Rui Manuel Pires"
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- Aproximação do Número de NeperPublication . Simão, Hermenegildo; Duque, José Carlos Matos; Almeida, Rui Manuel PiresO presente trabalho trata da aproximação do número de Neper. Começa-se por apresentar uma resenha histórica dos principais factos e protagonistas em torno deste número. De seguida, apresentam-se alguns métodos que permitem calcular a sua aproximação, com recurso a sucessões, séries e frações contínuas. Por fim, deduzem-se modelos matemáticos, envolvendo o número de Neper, que descrevem determinados fenómenos estudados em diferentes áreas da ciência. Espera-se que este trabalho proporcione aos alunos e professores informação importante que contribua para o melhoramento do processo de ensino e aprendizagem deste tópico no ensino secundário.
- Aproximação numérica de equações diferenciais parciais com p-Laplaciano e memóriaPublication . Mário, Belchior César Xavier; Duque, José Carlos Matos; Almeida, Rui Manuel PiresNeste trabalho, faz-se um estudo sobre a aplicação do método dos elementos finitos na resolução de uma equação diferencial parcial não linear do tipo parabólico com memória da forma [...]
- Aproximação Numérica de Equações Diferenciais Parciais Não Lineares com Aplicações em FinançasPublication . Chihaluca, Teófilo Domingos; Almeida, Rui Manuel Pires; Duque, José Carlos MatosNeste trabalho, faz-se um estudo sobre a aplicação do método de elementos finitos na resolução de uma equação diferencial parcial generalizada de Black-Scholes que surge ao calcular o preço de opções, considerando os custos de transação. Outro objetivo deste trabalho é o estudo da EDP Delta Greek. No estudo da equação Delta de Black-Scholes não linear, supõe-se que o coeficiente de difusão da equação parabólica não linear para o preço V é uma função linear do preço do ativo subjacente da opção e do Gamma Greek Vxx. A existência de solução viscosa é provada, usando o vanishing viscosity method. Regularizando a equação, adicionando uma pequena perturbação ao problema inicial, uma sequência de soluções aproximadas u" é então construída e, em seguida, o método de limites fracos é aplicado para provar a convergência da sequência para a solução viscosa da equação Delta. Os problemas aproximados construídos demonstram ter boa regularidade, o que permite o uso de métodos numéricos eficientes e robustos. Discretizam-se então os problemas aproximados, utilizando o método dos elementos finitos com aproximação de grau arbitrário no espaço e o método de Crank-Nicolson no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém-se a ordem de convergência em função dos parâmetros de discretização. Para ilustrar os resultados teóricos e a aplicabilidade do método, são apresentados alguns resultados numéricos implementados em Matlab. Para as opções americanas, os problemas são considerados de fronteira livre. Um termo de penalidade é acrescentado à equação para resolver a mesma em todo o domínio espacial. O método de elementos finitos com bases de Hermite são usados para discretizar na direção espacial e o método de Crank-Nicolson na direção temporal. A fronteira livre é estimada a partir da condição da primeira derivada. A eficiência e a precisão do método proposto são testadas numericamente. Neste sentido, os resultados computacionais são fornecidos para alguns modelos de opções europeias e americanas de compra e venda e estes confirmam o comportamento teórico das soluções e também são concordantes com as soluções exatas para o caso linear.
- O método dos elementos finitos móveis para problemas evolutivos com fronteira móvelPublication . Robalo, Rui Jorge Mendes; Almeida, Rui Manuel Pires; Coimbra, Maria do Carmo da Costa PatrocínioNesta tese, apresenta-se uma nova formulação do método dos elementos nitos móveis, para se obter a solução aproximada de uma vasta classe de problemas de evolução, do tipo @y @t = Xd I=1 FI @2y @x2 I + g ; de nidos em domínios espaciais de Rd, com d = 1; 2, que são caracterizados por apresentarem fronteira móvel. A originalidade está presente no desenvolvimento do algoritmo numérico que conduz à aplicação computacional para resolver problemas multifase bidimensionais com duas interfaces móveis. Os elementos da matriz diagonal FI , bem como os do vetor g, são funções de x, t, y e das derivadas @y=@xI . No caso bidimensional, o domínio espacial inicial do problema, que pode possuir uma geometria não retangular, é discretizado por intermédio de elementos nitos triangulares. São usadas malhas possuindo diferentes tipos de simetria. Os vértices da malha espacial movem-se no tempo de modo a permitir uma descrição e ciente da posição da fronteira móvel e de modo a que a solução seja convenientemente representada. Esta representa ção consiste numa aproximação por funções interpoladoras, seccionalmente polinomiais de grau superior a um. Desenvolve-se a formulação do método adotado, recorrendo-se a um elemento nito xo de referência. Para cada uma das variáveis dependentes, associa-se uma malha espacial, o que é inovador em domínios espaciais bidimensionais. O facto de se poder trabalhar com malhas distintas, permite simular todas as interfaces móveis num problema com mais de uma fase de interesse. A técnica usada foi implementar uma decomposição do domínio espacial do problema com a introdução de nós que vão descrever a posição de uma interface em cada instante. Estuda-se a solubilidade global do problema dado inicialmente para o caso em que a m-ésima equação é de nida por (FI )m;m = am Z t y (m)(x; t)dx e gm = gm(x; t) ; onde é uma permutação dos elementos de f1; :::; ng, com m = 1; :::; n. Prova-se a existência e unicidade de soluções fortes para n = 1; 2, assim como o decaimento exponencial das soluções. É de realçar que o último resultado é obtido diretamente no domínio não cilíndrico. O sistema de equações é discretizado utilizando o método de Galerkin no espaço e um método de Crank-Nicolson no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém-se a ordem de convergência em função dos parâmetros da discretização. São apresentados exemvii O MEFM para problemas evolutivos com fronteira móvel plos numéricos ilustrativos da in uência dos dados iniciais no comportamento assintótico das soluções. Tanto quanto é possível saber, estes resultados são os primeiros nesta direção para equações com um termo difusivo não local do tipo apresentado. O código desenvolvido com base no método adotado permite a simulação de sistemas de equações diferenciais do tipo apresentado, em domínios espaciais de dimensão 1 e 2 com fronteira parcialmente ou totalmente móvel. A discretização espacial, que origina a construção de um sistema de equações diferenciais ordinárias de grande dimensão, é a principal tarefa a ser implementada. Para o conseguir, constrói-se um conjunto de funções do Matlab que implementam o algoritmo numérico de modo a que o utilizador tenha apenas que caracterizar o problema a resolver. É de realçar que esta nova aplicação computacional geral, desenhada em Matlab, pode ser utilizada de modo simples, por um utilizador com conhecimentos de nível básico em Matlab, para resolver de modo e ciente uma grande variedade de problemas evolutivos, incluindo problemas em que ocorrem mudança de fases. São resolvidos vários problemas e os resultados numéricos são comparados com os fornecidos na literatura, evidenciando a e cácia e potencialidade do método e a robustez e performance do código numérico desenvolvido.
- Método dos elementos finitos para problemas com fronteiras livresPublication . Duque, José Carlos Matos; Antontsev, Stanislav Nikolaevich; Almeida, Rui Manuel PiresNeste trabalho pretende-se fazer um estudo sobre a aplicação do método dos elementos nitos a diversos problemas de reação-difusão com fronteiras livres. Para se obter estimativas do erro e simulações representativas é necessário obter alguns resultados teóricos sobre regularidade e algumas propriedades físicas das soluções. Neste sentido, o outro objetivo deste trabalho é o estabelecimento de resultados teóricos relativos a problemas em aberto. O primeiro problema a ser estudado é a equação parabólica seguinte: ut = div(juj (x;t)ru) + f(x; t); x 2 Rd; t 2]0; T]: Como o problema pode ser degenerado, utiliza-se um problema aproximado, regularizado atrav és da introdução de um parâmetro ". Demonstra-se, sob algumas condições em e f que a solução fraca do problema aproximado converge para a solução fraca do problema inicial, quando o parâmetro " tende para zero. São calculadas soluções discretas utilizando o método dos elementos nitos contínuo no espaço e descontínuo no tempo e é provada a convergência destas soluções para a solução fraca do problema inicial. Estuda-se também a aplicação do método da malha móvel a esta equação considerando-a num domínio livre em R2. É desenvolvido um conjunto de subrotinas em Matlab que permitem calcular e representar gra camente soluções aproximadas de vários problemas de reacção-difus ão com fronteiras livres. A discretização espacial é de nida por uma partição do domínio em triângulos. Em cada elemento nito, a solução é aproximada por uma função seccionalmente polinomial de grau r 1 utilizando polinómios interpoladores de Lagrange em coordenadas de área. Os vértices dos triângulos podem mover-se segundo um sistema de equações diferenciais parciais que é adicionado ao problema. Posteriormente, deduz-se uma equação para mover os vértices da fronteira. O sistema resultante é convertido num sistema de equações diferenciais ordinárias no tempo, que é resolvido utilizando um integrador apropriado. Os integrais que surgem são calculados utilizando a quadratura de Gauss. Finalmente, são apresentados alguns resultados de aplicação. O outro problema estudado é o sistema não linear da forma ( ut = a1(l1(u); l2(v)) u + 1jujp2u + f1(x; t) vt = a2(l1(u); l2(v)) v + 2jvjp2v + f2(x; t) ; x 2 Rd; t 2]0; T]; onde a1 e a2 são funções positivas e Lipschitz-contínuas, l1 e l2 são formas lineares contínuas, 1; 2 0 e p 2. Prova-se a existência e unicidade de soluções fortes, assim como, algumas propriedades de localização, nomeadamente a existência de tempo de espera e a localização estável. Demonstra-se, impondo algumas condições em p e fi, que as soluções deste sistema podem decair de forma exponencial ou polinomial ou até extinguirem-se em tempo nito. O sistema é discretizado utilizando o método dos elementos nitos de Galerkin no espaço e um método de Euler linearizado no tempo. Prova-se a convergência das soluções discretas e obtém- -se a ordem de convergência em função dos parâmetros da discretização. No nal, o método é implementado em ambiente Matlab e são apresentados alguns resultados numéricos.
- Resolução numérica de sistemas de equações não-linearesPublication . Gouveia, Paulo Bernardo Oliveira; Almeida, Rui Manuel Pires; Duque, José Carlos MatosEste trabalho foi realizado no âmbito da dissertação para o Mestrado de Matemática para Professores, tem como principal objetivo o estudo da resolução numérica de sistemas de equações não-lineares, que é um assunto de extrema importância com aplicações nas mais diversas áreas da Matemática Aplicada. Após a apresentação de uma resenha histórica deste assunto, são abordados os métodos iterativos do ponto fixo, Newton-Raphson e de Broyden. Para cada um dos métodos iterativos é apresentada a construção da fórmula iterativa, o respetivo algoritmo e a análise de convergência. Com o atual currículo do ensino secundário não é possível a abordagem dos métodos de Newton-Raphson e de Broyden por estes necessitarem do conhecimento de matrizes, contudo é possível o ensino do método do ponto fixo. Espera-se que este trabalho proporcione aos alunos e professores informação importante que contribua para o melhoramento do processo de ensino e aprendizagem no ensino secundário e que a implementação de métodos computacionais sirva para motivar os alunos.