FC - DM | Dissertações de Mestrado e Teses de Doutoramento
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- Abordagens ao Modelo de Lotka-VolterraPublication . Capoco, Calvino Paulo; Vaz, Sandra Cristina de PintoNesta dissertação, vamos considerar o modelo Lotka-Volterra. Este foi obtido na década 1920’s independentemente por Lotka e Volterra. O modelo é dado por um par de equações diferenciais não lineares de primeira ordem e considera a interação entre as duas populações. Existem três grandes tipos de interação: competição, cooperação e predador -presa. Neste trabalho, estudamos o modelo Lotka-Volterra com interação do tipo predador-presa. Para modelar a dinâmica entre as duas populações podemos adicionar termos ao modelo original de forma a torná-lo mais realista e sempre que possível estimar a sua estabilidade. No primeiro modelo a ser analisado, será introduzido um termo nas presas e será estudada sua estabilidade. Um dos termos a ser adicionado pode ser um controle, numa ou nas duas populações e pode ser visto como introdução ou remoção de elementos nas populações. No segundo e terceiro modelo, iremos introduzir um termo que deverá ser visto como um controle. Este será introduzido nos predadores e será do tipo ON-OFF. Em ambos os modelos iremos mostrar graficamente que os modelos aparentam convergir para um ponto numa zona específica. Todos serão modelados usando equações às diferenças mas para isso é necessário escolher um esquema numérico. Entre os mais comuns estão os métodos de Euler, Runge-Kutta e Mickens. Iremos usar o método de Mickens.
- Algoritmos para solventes de polinómios matriciaisPublication . Marcos, Fernando António CarvalhoOs polinómios matriciais têm um papel importante na teoria das equações diferenciais matriciais resultantes de formulações matemáticas cada vez mais exigentes. Precisamente, uma abordagem para o problema de cálculo numérico de soluções de equações diferenciais matriciais é feita através da computação de solventes do polinómio matricial associado P(X) (Lancaster [25], pag. 525). O primeiro trabalho que se conhece neste âmbito está presente em Dennis [9], que deu origem ao desenvolvimento da teoria algébrica dos polinómios matriciais Dennis [10] e [11] e onde são apresentados Algoritmos de cálculo de solventes. Chama-se à atenção do leitor para Dennis [11], pág. 524, onde são de nidos dois métodos iterativos que permitem o cáculo de solventes. O primeiro, citado como método de Traub, permite a computação do solvente dominante, isto é, do solvente cujos valores próprios são maiores, em módulo, do que os valores próprios de qualquer outro solvente. O segundo Algoritmo é uma versão matricial do método de Bernoulli, que consiste basicamente no método da Potência aplicado à matriz companheira de P(X). Após Dennis [11] vários trabalhos consideraram este método (Lancaster [22], Tsai [38], Higham [19], Pereira [34]). O método de Newton clássico também foi adaptado ao contexto dos polinómios matriciais, primeiro à equação quadrática (Davis [5], Kratz [21], Higham [18], Long [26]) e posteriormente para polinómios de grau m qualquer. Recentemente foi também objeto de estudo em Higham [19] e Pereira [33]. Todos os métodos referidos são desenvolvidos com base na álgebra matricial, isto é, com base na equação P(X) = 0n n em Cn n. No presente trabalho é desenvolvido um método do ponto xo considerando as entradas do polinómio matricial P(X), reduzindo o problema ao nível escalar tentando com isso evitar os problemas de cálculo derivados da álgebra matricial sobretudo quando estes envolvem a inversa de uma matriz. É também apresentada uma versão vetorial do método de Newton para polinómios matriciais. Na sequência da ideia desenvolvida em (Marcos [27], pág. 357), onde a equação matricial P(X) = 0n n é trabalhada ao nivel escalar, é também considerado o método de Newton aplicado à equação formada por n n equações polinomiais. O objetivo é evitar a derivada de Fréchet e a resolução da respetiva equação matricial de Silvester em cada iteração, tal como acontece no método de nido em (Higham [18], pág. 4). De acordo com Dennis [9], pág. 80, se X é um solvente do polinómio matricial P(X) então X um bloco valor próprio da matriz companheira, CV = V X no caso mónico, ou bloco valor próprio do feixe companheiro, C1V = C2V X no caso não mónico. Relativamente a métodos iterativos com aplicação no cálculo de blocos valores próprios, pelo que se conseguiu apurar, existe apenas o método da Potência de nido em (Dennis [9], pág. 83) e aplicado apenas a polinómios mónicos. Assim, é apresentado o Método Newton Vetorial para Blocos Valores Próprios de nido para blocos valores próprios da matriz companheira e posteriormente adaptado ao cálculo de blocos valores próprios do feixe companheiro ou de um feixe genérico (A;B) = B A qualquer. Por último generalizou-se esta formulação para o cálculo de feixes próprios, ( B A)V = W( Y X): resultando no Método de Newton Vetorial para Feixes Próprios, de nido para um feixe genérico (A;B) = B A.
- Alguns fundamentos acerca dos testes de hipótesesPublication . Andrade, André Marques de; Gama, Jorge Manuel dos ReisA fundamentação teórica dos testes de hipóteses é excecionalmente analisada em estudos estatísticos, daí o objetivo deste estudo ser a recolha de alguns dos mais importantes pressupostos teóricos dos testes de hipóteses. A obtenção de resultados como testes Mais Potentes (MP), testes Uniformemente Mais Potentes (UMP) e testes Uniformemente Mais Potentes Não Enviesados (UMPU) é comum nos estudos estatísticos, mas é necessário o conhecimento das condições que satisfazem esses testes.
- Análise de variância com amostras de dimensão aleatória e suas aplicaçõesPublication . Andrade, Gilberto Capistrano Cunha de; Nunes, Célia Maria Pinto; Ferreira, Dário Jorge da ConceiçãoA Análise de variância (ANOVA) é utilizada em muitas áreas de investigação, nomeadamente em investigação médica, agricultura ou psicologia, para citar apenas algumas, onde as dimensões das amostras podem não ser previamente conhecidas. Esta situação ocorre com frequência quando o intervalo de tempo para a recolha das observações é fixado à partida. Um bom exemplo corresponde à recolha de observações para um estudo onde se pretende comparar várias patologias de pacientes que chegam às urgências de um hospital num determinado período de tempo. Neste trabalho iremos estender a ANOVA, com um e mais fatores, ao caso em que as dimensões das amostras são desconhecidas, devendo ser tratadas como realizações de variáveis aleatórias. Esta abordagem deve ser baseada na escolha adequada da distribuição destas variáveis. No presente trabalho são consideradas duas situações distintas: No primeiro caso assumiremos que as variáveis aleatórias seguem distribuições de Poisson, situação em que a ocorrência das observações corresponde a processos de contagem e não existem limites superiores para as dimensões das amostras (tal como ilustrado no exemplo anterior, referente à comparação de patologias); No segundo caso, consideraremos a distribuição Binomial, quando existe um limite superior para as dimensões das amostras, que nem sempre é atingido uma vez que podem ocorrer falhas nas observações. Como resultados, serão obtidas as estatísticas de teste e suas distribuições, condicional e não condicional assumindo as dimensões das amostras como aleatórias, para modelos de efeitos fixos, modelos de efeitos aleatórios e modelos mistos. Adicionalmente, serão apresentadas várias aplicações com registos do cancro no Brasil que nos permitirão ilustrar a utilidade da nossa abordagem assim como comparar os resultados obtidos com os da ANOVA usual.
- Anéis filiaisPublication . Chouzal, Tânia Cristina Gonçalves Robalo; Mendes, Deolinda Isabel da ConceiçãoO nosso principal objectivo é estudar o trabalho de G. Ehrlich e também de R. Andruszkiewicz e E.R. Puczylowski no que concerne aos anéis liais, isto é, anéis em que a relação de ideal é transitiva. Começamos por resumir algum material de base que será usado ao longo do trabalho. Em particular, referimo-nos a anéis primos e semiprimos, ao Radical de Jacobson e algumas das suas propriedades; apresentamos a construção de um anel de fracções a partir de um anel comutativo e registamos algumas propriedades da estrutura dos seus ideais. Além disso, recordamos algumas de nições básicas e conceitos acerca dos domínios de ideais principais e dos domínios de factorização única. Em seguida, de nimos anel lial e apresentamos vários exemplos. São dadas várias caracterizações de anéis liais e, em particular, de anéis liais semiprimos, Artinianos e nilpotentes. Também é investigada a lialidade de domínios de integridade. Por último, é apresentada uma ligação entre os grupos abelianos e os anéis liais.
- Aplicação da Taxonomia SOLO na análise da qualidade da avaliaçãoPublication . Pereira, Verónica Carla de Almeida Santos; Matos, José Manuel Leonardo de; Silva, César Augusto Teixeira Marques daJEAN PIAGET defendia que “a capacidade cognitiva humana nasce e desenvolve-se, não vem pronta.” Temos hoje consciência de que o ser humano evolui em consequência da sua interação sensorial com o mundo, construindo a sua intrincada relação de ações condicionadas pela perceção do que o rodeia e pela sua capacidade de criar e relacionar com o que apreende. O conhecimento resulta, assim, de um processo de aprendizagem complexo, variável de indivíduo para indivíduo, mas que pode ser compreendido, sistematizado e definido. BIGGS e COLLIS, partindo dos pressupostos gerais enunciados por PIAGET, elaboraram uma teoria, denominada Taxonomia SOLO, que nos fornece parâmetros para analisar e classificar os conteúdos de um processo de aprendizagem, através da descrição dos processos envolvidos na dialética pergunta/resposta, numa escala de dificuldade ou complexidade. A dialética pergunta/resposta é, na sua génese, a ferramenta essencial de um momento determinante do processo de ensino – a Avaliação. O nosso trabalho assenta essencialmente numa análise do processo de Avaliação, tendo por base o conjunto de provas de avaliação da disciplina de matemática num contexto determinado e num período de tempo concretamente definido, através da análise e classificação de questões sobre os diversos conteúdos avaliados. A investigação incidiu sobre os exames nacionais de Matemática do 12º ano de escolaridade, em ambas as fases de exame, entre 2006 e 2014. Como metodologia, seguimos os pressupostos da Taxonomia SOLO propostos por BIGGS e COLLIS, no modelo de categorização desenvolvido e adaptado por MÁRIO CEIA, a partir do qual seguimos uma matriz de classificação das questões que entendemos ajustada ao objeto da análise e fiel aos pressupostos de base. O nosso trabalho fornece uma análise exaustiva de um momento do processo de ensino enquanto processo de validação da metodologia proposta. Conscientemente, não aborda outras perspetivas fundamentais para uma análise global da qualidade de ensino e que não cabem no âmbito desta tese. Ainda assim, pelos resultados obtidos, podemos enunciar algumas propostas conclusivas quanto às evidências que resultam do estudo e que desde já se antecipam – o ensino da matemática é generalizante, o grau de exigência é cada vez maior e as médias finais na avaliação da disciplina tendiam para mais negativas.
- Aplicação dos Números Complexos em GeometriaPublication . Zinga, Teresa da Conceição Mazissa; Pacheco, Rui Miguel Nobre MartinsOs números complexos são muito importantes em Matemática. Com muita frequência, eles têm tido uma abordagem puramente algébrica, deixando uma preocupação em como os mesmos podem ser aproveitados ou aplicados em outros contextos. Neste trabalho, procuramos explorar esta aplicação dos números complexos em geometria plana.
- Aplicações harmónicas de superfícies de Riemann sobre espaços simétricosPublication . Correia, Nuno Miguel Ferreira; Pacheco, Rui Miguel Nobre MartinsDescrevemos como a operação de somar um unitão surge através do método de Dorfmeister, Pedit e Wu (DPW) que permite obter aplicações harmónicas em espaços simétricos Riemannianos compactos a partir de certas 1-formas holomorfas. Exploramos este ponto de vista para investigar quais os unitões que preservam a propriedade do tipo nito das aplicações harmónicas. Em particular, provamos que o brado de Gauss de uma aplicação harmónica do tipo nito numa Grassmanniana também é do tipo nito. Provamos que qualquer aplicação harmónica da esfera de dimensão 2 num grupo de Lie compacto semi-simples de matrizes pode ser reduzida a uma constante usando as acções de revestimento singular, isto é, as singular dressing actions introduzidas por Bergvelt e Guest. Encontramos também geradores para o grupo dos lacetes racionais das representações fundamentais de Sp(n)C e SU(n)C: em ambos os casos a classe dos geradores é um pouco maior do que a classe de factores simples (lacetes racionais com um número mínimo de singularidades, cuja acção de revestimento pode ser calculada explicitamente). Estabelecemos fórmulas explícitas para as factorizações canónicas de soluções estendidas que correspondem a aplicações harmónicas com número de unitão nito no grupo de Lie excepcional G2 em termos do modelo Grassmanniano. É dada uma descrição dos geradores do referencial de Frenet para estas aplicações harmónicas. Em particular, mostramos que aplicações harmónicas da esfera de dimensão 2 em G2 correspondem a soluções de certos sistemas algébricos de equações quadráticas e cúbicas.
- A aprendizagem das funções por alunos discalcúlicosPublication . Pimenta, Corália Maria Santos; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaAs dificuldades que os jovens manifestam na utilização de noções de Matemática deverão ser, por parte de todas as nações, um motivo de maior preocupação e investimento, na medida em que a Matemática está fortemente ligada à prosperidade de cada país. Essas dificuldades podem condicionar o futuro dos jovens, havendo maior probabilidade de situações de depressão e menor capacidade financeira (Butterworth, 2010). Reeducar jovens com dificuldades de aprendizagem em Matemática (DAM) poderá ajudar a resolver alguns dos problemas da actual sociedade, face às inúmeras capacidades que se poderão desenvolver com a utilização da Matemática. No âmbito deste trabalho, foi efectuado um estudo de caso visando identificar e compreender as dificuldades que experimenta uma aluna discalcúlica, que frequenta o sétimo ano de escolaridade pela primeira vez, quando aprende conceitos específicos das Funções, através da aplicação do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico (NPMEB), mediante uma intervenção educativa atempada com a implementação de estratégias específicas redefinidas consoante as dificuldades manifestadas pela aluna. No sentido de dar resposta ao problema supracitado utilizou-se uma metodologia qualitativa de cunho descritivo e interpretativo. A aluna evoluiu na aprendizagem de conceitos específicos relacionados com as Funções, tendo também alterado a sua postura face às dificuldades que sente na compreensão e utilização de noções de Matemática. Evidenciou, sobretudo, melhor compreensão, seriação dos dados enunciados e flexibilidade na utilização de conceitos e linguagem simbólica, para além de um ritmo de trabalho mais ajustado ao seu grupo de pares. Destaca-se também o progresso observado ao nível da auto-estima, o qual se reflectiu numa atitude de maior empenho e persistência na execução das tarefas implementadas e na auto-exposição em contexto turma.
- A aprendizagem das funções: uma experiência com alunos do 7º ano de escolaridadePublication . Rebelo, Cláudia; Saraiva, Manuel Joaquim Félix da SilvaO presente trabalho teve como objectivo identificar e compreender as dificuldades que os alunos de uma turma do 7º ano de escolaridade enfrentam ao trabalharem com funções. Foi utilizada uma metodologia qualitativa e uma proposta pedagógica elaborada e implementada para o ensino do tema funções, numa turma do 7° ano de escolaridade, com vinte e três alunos. Foram recolhidos dados relativos às resoluções dos alunos de testes de avaliação, de tarefas propostas nas aulas, bem como referentes aos registos no Caderno da professora que reflectiam a sua perspectiva sobre a actividade matemática dos alunos no decorrer de cada aula. Os resultados mostram que os alunos têm dificuldades na interpretação e aplicação do conceito de função, mas que com o treino em tarefas contextualizadas estas dificuldades dissipam-se. Este trabalho mostra ainda que os alunos sentem dificuldades em lidar com símbolos matemáticos, que parecem complicar em vez de facilitar, as interpretações e os cálculos dos alunos. Também se verificaram dificuldades ao nível da escrita e da interpretação de expressões algébricas. Consequentemente, é na manipulação de símbolos, nas expressões algébricas e na interpretação de gráficos que existem as dificuldades mais notórias dos alunos. Estas dificuldades evidenciadas neste trabalho vêm reforçar a ideia de que a compreensão do conceito função é um processo lento, que deve ser continuamente trabalhado.